Onderzoeksgroep Cliffordanalyse

Bachelorprojecten Wiskundige Analyse V

Onderwerp 1: Dunkl operatoren in dimensie 2

Dunkl operatoren zijn veralgemeningen van partiële afgeleiden, die een lineaire combinatie van differentiaal- en differentie-operatoren zijn. Deze operatoren maken het bijvoorbeeld mogelijk een Laplaciaan te definiëren die slechts invariant is onder een eindige reflectiegroep en niet onder de volledige orthogonale groep.
Doel van dit project is om deze operatoren te bestuderen in dimensie 2, voor alle dihedrale groepen. In het bijzonder kunnen in dit geval de Dunkl operatoren gebruikt worden om een veralgemeende Cauchy-Riemann operator te definiëren. Hiervan willen we vervolgens de kern expliciet bepalen in termen van gekende orthogonale veeltermen. (Dit project heeft een analytische component, een meetkundige en een rekentechnische.)

Onderwerp 2: Unieke karakterisatie van de Legendre transformatie

De Legendre transformatie is een operatie die convexe functies in R^n afbeeldt op convexe functies in R^n. Doel van dit project is tweeërlei. Enerzijds willen we in de literatuur de basiseigenschappen en toepassingen van deze transformatie bekijken. Anderzijds willen we een recent artikel in Annals of Mathematics doorgronden, waar een unieke karakterisatie (in termen van 2 eigenschappen) van deze transformatie bewezen werd.

Onderwerp 3: semi-klassieke orthogonale polynomen

Monische polynomen {P_n} die orthogonaal zijn met betrekking tot een reële gewichtsfunctie w(x) voldoen steeds aan een recurrente betrekking van de vorm P_{n+1} = (x-S_n) P_n - R_n P_{n-1} met S_n en R_n expliciet gedefinieerd. Klassieke orthogonale polynomen (zoals de hermite-, laguerre- en jacobipolynomen) hebben een gewichtsfunctie w(x) die voldoet aan de zogenaamde Pearson vergelijking ( Q(x) w(x) )' = R(x) w(x) waarbij Q hoogstens graad 2 heeft en R graad 1 heeft. Indien de graad van Q groter is dan 2 en/of de graad van R groter is dan 1, dan genereert de gewichtsfunctie w(x) een klasse van semi-klassieke orthogonale veeltermen.
Doel van dit project is een literatuurstudie te maken van semi-klassieke orthogonale veeltermen (eigenschappen, vergelijking met klassieke orthogonale veeltermen, voorbeelden, toepassingen).