Onderzoeksgroep Cliffordanalyse

Masterthesisonderwerpen

Onderwerp 1: Veralgemeende Fourier transformaties: discreet versus continu


De klassieke Fourier transformatie (FT) kan men linken aan een realisatie in termen van differentiaaloperatoren van de Lie algebra sl2. Deze herschrijving laat vervolgens toe om vergaande veralgemeningen van de FT te bekomen, door nieuwe differentiaaloperator realisaties van sl2 (of zelfs ingewikkeldere Lie (super)algebra's ) te construeren. De laatste jaren vormt dit een actief domein van onderzoek, waar zowel continue als discrete transformaties ingevoerd werden. In veel gevallen is er bovendien een interessante kwantummechanische interpretatie.
Doel van deze scriptie is om een aantal dergelijke transformaties in detail te bestuderen, en in het bijzonder een vergelijkende studie te maken van het discrete en continue geval.

Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Joris Van der Jeugt


Wavelets and Searlets

Onderwerp 2: Wavelets en shearlets met behulp van Clifford algebra technieken


Wavelets, en meer recent ook shearlets, vormen een zeer belangrijk hulpmiddel in moderne beeldverwerking, vooral op gebied van compressie en reconstructie. In recent wiskundig werk werd de wavelettransformatie uitgebreid naar hogere dimensies, door gebruik te maken van Cliffordanalyse.
Doel van dit onderwerp is om enerzijds een theoretische studie van deze wavelets te maken, maar anderzijds ook de praktische toepasbaarheid te bekijken. Daartoe zal een vergelijking gemaakt worden tussen een bestaand algoritme dat gebruikt maakt van zogenaamde shearlets met een te construeren nieuw algoritme steunend op de Clifford wavelets.

Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Bart Goossens (TELIN)


Onderwerp 3: Studie van de symplectische Dirac operator


Het doel van dit masteronderwerp is het doornemen van een recent boek van Habermann en Habermann over de symplectische Dirac operator. Deze differentiaaloperator is, in tegenstelling tot de klassieke orthogonaal invariante Dirac operator, invariant onder de symplectische groep. Dit heeft tot gevolg dat er moet gewerkt worden met symplectische Clifford algebra's die inwerken op de oneindigdimensionale ruimte van symplectische spinoren. Kennis van differentiaalmeetkunde is noodzakelijk, aangezien deze operator in grote algemeenheid geconstrueerd wordt.

Promotor: H. De Bie (S8, bureau 130.062)
Begeleiding: K. Coulembier


Onderwerp 4: Tensorproduct representaties voor Lie (super)algebras


Het doel van de thesis is enerzijds een studie van enkele gekende technieken uit de representatietheorie van Lie algebras en anderzijds een toepassing op open vraagstukken voor Lie superalgebras. In eerste instantie wordt de techniek van Littlewood-Richardson en Young tableaus toegepast op tensormachten van de fundamentele representatie van de lineaire en orthogonale Lie algebra. Samen met het nemen van spoor-subrepresentaties biedt dit een nieuw kader om de volledige reducibiliteit van representaties van de orthosymplectische Lie superalgebra te bestuderen.

Begeleiding: Kevin Coulembier
Promotor: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062)


Onderwerp 5: Hermitische Cliffordanalyse


Hermitische Cliffordanalyse is een verfijning van orthogonale Cliffordanalyse, waarbij de klassieke Dirac operator herschreven wordt als de som van twee complexe differentiaaloperatoren. Dit heeft een veel rijkere functietheorie tot gevolg, die onder meer complexe analyse in meerdere veranderlijken omvat.
Doel van dit onderwerp is om een aantal recente artikels grondig door te nemen. Na een bestudering van het basisframework, zijn er vervolgens een aantal verschillende mogelijkheden: studie van polynomiale nuloplossingen (het zogenaamde h-monogene systeem), fundamentele oplossingen, Cauchy-Kowalevski extensies, etc.

Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Hennie De Schepper (S8, bureau 130.073)


Onderwerp 6: Constructie van fundamentele distributies in de Clifford Analyse


Beschrijving


Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Ghislain Franssens (Belgian Institute for Space Aeronomy)


Onderwerp 7: Speciale functies in Cliffordanalyse


Het is de bedoeling een aantal verzamelingen van orthogonale veeltermen te veralgemenen naar het hogerdimensionale Clifford-kader. We denken hierbij vooral aan veralgemeende Hermiteveeltermen. Ook zal aandacht besteed worden aan speciale functies afgeleid uit de functie exp<x,y> die optreedt in de Fourier-Laplace transformatie. Deze ontstaan uit de Fischerdecompositie en de ontwikkeling in sferisch monogenen.

Promotor: Frank Sommen (S8, bureau 130.063)


Onderwerp 8: Cliffordanalyse op variëteiten


Gebruik makend van de taal van differentiaalvormen in combinatie met de Cliffordalgebra is het mogelijk om een Cauchy-Stokes formule te bewijzen voor de tangentiële Diracoperator op een oppervlak in de Euclidische ruimte. Het is de bedoeling deze theorie uit te werken en toe te passen op een aantal voorbeelden zoals: de eenheidssfeer, de fles van Klein, de reële projectieve ruimte, de Veronese inbedding en de Grassmannvariëteiten.

Promotor: Frank Sommen (S8, bureau 130.063)


Onderwerp 9: Quaternion sparse representation model for color image processing


Many problems like image and video restoration, compression and coding, digital image inpainting and content analysis benefit from the sparse representation model. As these techniques are powerful and widely applicable, sparse representations of signals (including images and higher-dimensional data), attract the interest of researchers from different fields. The goal of such a sparse representation is to approximate well a signal using only few elements from a (typically redundant) dictionary (see Figures 1 and 2). One of the best known and widely used approaches for dictionary learning is the so-called K-SVD method. K-SVD is an extension of the K-means clustering method that allows efficient learning of the dictionary using the singular value decomposition (SVD). The common dictionary learning techniques, including the recent K-SVD methods, treat signals in a unified way irrespective of their dimensionality and the nature of different channels in the case of multicomponent data (such as color, multispectral or hyperspectral images). All the data within a 2-D window (in the case of a greyscale image) or a 3-D window (in the case of a multicomponent image) are simply stacked in an array, using a given scanning order and as such treated as a single 1-D vector.

A very recent trend in signal processing and machine learning attempts to build an improved sparse representation model of color images by introducing quaternions into dictionary construction. Quaternions are four-dimensional generalization of complex numbers (with three imaginary units instead of one). Due to their property to describe efficiently rotations in 3D, quaternions have many applications in theoretical and applied mathematics but also in different fields of engineering such as computer graphics and computer vision as well as in various applications including biomedical processing, remote sensing, hyperspectral image processing and many others. The quaternionic representation with three imaginary units is also ideally suited for representing three color channels, and therefore quaternions have already been used extensively in color image processing. A very recent method, so-called K-QSVD, which is a generalization of the K-SVD algorithm in the quaternionic framework, already showed remarkable results (see Figure 3). The potentials of quaternions in improving sparse representations of multicomponent images are yet to be explored, starting from the first encouraging results. The motivation is that the coefficient matrix preserves not only the correlation among the channels but also the orthogonal property. According to recent studies, this proves to be important in terms of computation complexity but also in terms of color fidelity in the reconstruction. However, many aspects of this approach are yet to be explored, both theoretically and in terms of the practical design. In this master thesis, the student will be guided by supervisors from the Image Processing and Interpretation research group and the Clifford research group.

This thesis should combine emerging and hugely popular technologies in image processing and computer vision with a solid mathematical theory to build a sound framework that will be validated in some concrete applications but even more widely applicable. The main goal of the thesis is to build a powerful method for encoding color images using quaternionic dictionaries starting from the literature and already developed algorithms, such as K-SVD and K-QSVD. A first task will be to explore the efficiency of K-QSVD dictionaries compared to the more traditional ones in terms of the approximation power (the goal is to compose the image as faithfully as possible by combining as few as possible elements at each local position). Secondly, the developed method will be applied in two concrete image processing applications - image denoising and digital inpainting (see an illustration in Figure 3). In these applications, the use of quaternionic dictionaries will be practically evaluated and compared to some of the current state-of-the-art methods that will be made available to the student.

Fig 1. - For input data Y, dictionary learning method aims to find dictionary D and a representation
matrix X such that its columns Xi are sparse enough (https://research.csiro.au/data61/).
Fig 2. - An illustration of the color image dictionaries learned by K-SVD (on the left) and K-QSVD algorithm (on the right).
Fig 3. - An example showing the application of K-QSVD in image inpainting.
Left: damaged image (70 % missing); Right: an image reconstructed using K-QSVD.

Begeleiding: Srđan Lazendić (S8, derde verdiep, bureau 130.071)
Promotoren: Aleksandra Pižurica (TELIN), Hendrik De Bie (S8, derde verdiep, bureau 130.071)




Department of Mathematical AnalysisVakgroep Wiskundige Analyse

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur