Embeddings of groups into Hilbert spaces
Promotor: Corentin Le Coz
Finitely generated groups can be interpreted as graphs by the Cayley graph construction. However, in general, these graphs are wild objects. We can see them as metric spaces on their set of vertices, with the distance given by the shortest path length. It is then interesting to embed them into a metric space with more structure. Hilbert spaces are particularly fit for this because they can provide many tools, like orthogonal projection and spectral decomposition.
In general, graphs cannot be embedded isometrically into a Hilbert space, therefore it is more natural to use the notion of bi-Lipschitz embeddings. How far the embedding is from being isometric is measured by a quantity called the "compression". The correspondence between algebraic properties of groups and compression is still an active field of research, see §5.2 of [1].
This project will combine group theory, graph theory, and analysis. Depending on taste, possible developments include embeddings of finite graphs [2,3], weak expanders from [4], connection with Poincaré profiles [5], and embeddings of planar graphs [6].
References
| |
"Uniek product" groepen
Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Jari Desmet
"Unique Product Groups" zijn een klasse oneindige groepen die gebruikt worden binnen de ringtheorie. Meer bepaald geven deze groepen aanleiding tot ringen zonder nuldelers. Het is dan ook een interessante oefening om deze klasse groepen te bestuderen, en hun relatie met andere eigenschappen van groepen.
Concreet zou een project eerst de context van "Unique Product Groups" en groepringen onderzoeken [1], om iets meer voeling met deze objecten te krijgen. Daarna kunnen er voorbeelden/tegenvoorbeelden bekeken worden [2,3,4], die eventueel met de hand of met de computer verder kunnen bestudeerd worden. Aangezien veel van deze groepen ook meetkundig van aard zijn, bestaan er ook meetkundige variaties [5] van "Unique Product Groups", die naargelang de wens van de student ook bestudeerd kunnen worden.
Referenties
- Passman, Donald Steven. The Algebraic Structure of Group Rings. New York (N.Y.): Wiley, 1977.
- Eliyahu Rips, Yoav Segev, "Torsion-free group without unique product property", Journal of Algebra, vol. 108, no. 1, 1987, pp. 116-126, https://doi.org/10.1016/0021-8693(87)90125-6.
- Promislow, S. David. "A simple example of a torsion-free, non unique product group." Bulletin of the London Mathematical Society 20.4 (1988): 302-304.
- Carter, William. "New examples of torsion-free non-unique product groups" Journal of Group Theory, vol. 17, no. 3, 2014, pp. 445-464. https://doi.org/10.1515/jgt-2013-0051.
- Bowditch, Brian H. "A variation on the unique product property." Journal of the London Mathematical Society 62.3 (2000): 813-826.
| |
Graph theory, expander graphs and applications
Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Inga Valentiner-Branth
Spectral graph theory studies properties of graphs using the eigenvalues and other properties of the adjacency or Laplacian matrix of a graph. A family of k-regular graphs is called a family of expanders if the spectral gap of each graph is bounded away from zero. The spectral gap in this context is the difference of the largest eigenvalue of the adjacency matrix and the second largest. Expander graphs have many applications in Computer Science, for example in the construction of error correcting codes or networks.
One possible idea for the project would be to first understand the properties of expander graphs using spectral graph theory and then examine how they can be used to construct error correcting codes or improve existing ones. The idea here is to assign to each edge in the graph a position in the codeword and do some clever construction. The construction has desired properties due to the Expander Mixing Lemma.
Another possible path could be to look at the connection of expander graphs and their spectral properties to random walks on graphs. A random walk on a graph is a stochastic process that moves on the vertices of the graph, always choosing the next vertex at random from the set of neighbours of the current vertex. One important aspect to study is what the probability distribution will converge to. The random walk on (non-bipartite) expander graphs converges quickly to the uniform distribution, the spectral gap determines how fast the convergence is.
Depending on personal interest, also other applications of expanders could be considered.
References
| |
Scheve braces van priemmacht-orde
Promotor: Arne Van Antwerpen
Scheve braces (ofwel skew braces) zijn algebraïsche structuren die wat weg hebben van zowel een ring als een groep. Concreet zijn het twee groepen (B,+) en (B,∘) op dezelfde verzameling B die voldoen aan de gelijkheid
a ∘ (b+c) = (a ∘ b) - a + (a ∘ c).
Deze laatste doet denken aan een scheve linker distributiviteit. In het bijzonder zorgt deze ervoor dat de neutrale elementen van beide groepen samenvallen. Recent zijn de scheve braces van priemmacht-orde pn geclassificeerd tot n=4. In dit project gaan we dieper in op de structuur van deze braces van priemmacht-orde. Afhankelijk van de interesse van de student kan er gefocust worden op het uitpluizen van de huidige literatuur, op de gelijkenissen tussen groepen en deze structuren of op meer computationele aspecten aan de hand van GAP. | |
Maximale bogen in projectieve vlakkenPromotor: Bart De Bruyn Een verzameling punten in een projectief vlak van orde q wordt een maximale boog van graad d genoemd indien elke rechte de maximale boog snijdt in ofwel 0 ofwel d punten. Als d=2, dan wordt zo'n maximale boog ook een hyperovaal genoemd. De bedoeling van het project is om bepaalde aspecten van maximale bogen te bestuderen. Meer bepaald wordt hier gedacht aan constructies, niet-bestaan resultaten en bepaling van hun stabilizatoren (in de projectieve groep). Ook kunnen meetkundige constructies die gebruik maken van maximale bogen in het project nader bekeken worden. | |
Puntenverzamelingen in projectieve ruimten met weinig intersectiegetallenPromotor: Bart De Bruyn In dit project is het de bedoeling om puntenverzamelingen in projectieve ruimten te bestuderen waarvan de mogelijke intersectiegroottes met hypervlakken beperkt zijn tot 2 of 3 waarden. Meer bepaald wordt hier gedacht aan constructies en klassificatierresultaten. In geval er twee mogelijke intersectiegroottes voorkomen, zijn deze puntenverzamelingen gerelateerd aan zogenaamde twee-gewichts-codes en sterk reguliere grafen. | |
Polariteiten van projectieve ruimtenPromotor: Bart De Bruyn Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit? Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn). | |
Interessante deelstructuren van projectieve ruimtenPromotor: Bart De Bruyn In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden. | |
Kangoeroes in grafen met diameter 2
Promotor: Hendrik Van Maldeghem
Een kangoeroe in een graaf G met diameter 2 is een automorfisme van G dat geen enkele top afbeeldt op een adjacente top.
Het doel van het project is nu om na te gaan voor welke klassen van grafen met diameter 2 we alle kangoeroes kunnen klasseren. We focussen ons daarbij op de grafen met grote automorfismegroepen, de zogenaamde rang 3 grafen: de groep werkt transitief op de verzameling toppen, en de stabilizator van een top t werkt transitief op alle buren van t en alle niet-buren van t. Verscheidene klassen van zulke grafen hebben mooie meetkundige of combinatorische beschrijvingen, en het zijn deze grafen die we zullen in beschouwing nemen. Eerst maak je er een kleine studie van om ze goed te begrijpen, en dan probeer je de kangoeroes te vinden.
Dit is een onderzoeksproject dat nieuwe en originele resultaten beoogt en een niet-triviale inbreng van de student(e) vereist. Het project verbindt de vakken Discete wiskunde II, Lineaire algebra en meetkunde II, Algebra I en Projectieve meetkunde. | |
Onderwijskundig project
Promotor: Hendrik Van Maldeghem
In dit project, dat bedoeld is voor studenten die minor onderwijs volgen, heb je tamelijk veel vrijheid. De bedoeling is een stuk universitaire wiskunde in de gebieden algebra-meetkunde-combinatoriek om te kneden tot een origineel onderzoeksproject voor het secundair onderwijs, met inbegrip van eventueel zelf didactisch materiaal ontwerpen/maken/in elkaar knutselen, handleiding/cursus schrijven, eventueel met leerpad(en) werken, met oefeningen van alsmaar hoger niveau het project opbouwen, of andere didactische werkvormen combineren. Het eigenlijke onderwerp kan in overleg met de promotor gekozen worden. Op de mondelinge presentatie kan een en ander uitgeprobeerd worden, of eventueel kan het in de praktijk uitgetest worden in een school naar keuze, indien tijdig klaar.
Dit project kan ook door een duo uitgevoerd worden. | |
ADE-klassering van veralgemeende vierhoeken
Promotor: Hendrik Van Maldeghem
Begeleider: Daan Rijpert
Een wortelsysteem is een eindige verzameling vectoren, genaamd "wortels", in de Euclidische ruimte die voldoen aan een aantal eigenschappen. Zo'n systeem kan gecodeerd worden door middel van een samenhangende graaf (of unies ervan) waarvan de toppen bepaalde wortels van het systeem zijn. Deze grafen zijn volledig geklasseerd [1] en vallen uiteen in multigrafen en enkelvoudige grafen van zogenaamd "simply laced" type. Er zijn juist vijf types: An, Dn, E6, E7 en E8, elk geïndexeerd door het aantal toppen in de bijbehorende graaf.
Een ADE-klassering is een klassering van een verzameling objecten die correspondeert met de klassering van grafen van simply laced type afkomstig van een wortelsysteem. Voorbeelden van ADE-klasseringen zijn niet alleen in de wiskunde te vinden, maar ook in de fysica en zelfs in de biologie. Het doel van dit project is om een specifiek voorbeeld van een ADE-klassering in detail te bestuderen, namelijk dat van veralgemeende vierhoeken. Dit zijn incidentiestructuren die onder andere gekenmerkt worden door hun gebrek aan driehoeken; in de afgelopen tientallen jaren zijn ze uitvoerig bestudeerd en geklasseerd. [2]
De student(e) begint het project met een uitgebreide studie van wortelsystemen en veralgemeende vierhoeken om uiteindelijk te beschrijven hoe de klassering van bepaalde veralgemeende vierhoeken zich vertaalt tot een ADE-klassering. Theorie van de vakken Discrete Wiskunde II, Lineaire Algebra en Meetkunde I/II, en Projectieve Meetkunde komt hierbij veelvuldig aan te pas. Naargelang de interesses van de student(e) is er ook de flexibiliteit om bepaalde aspecten van het project te benaderen vanuit een computationeel oogpunt met behulp van SageMath of GAP.
Referenties
[1] Erdmann, K., & Wildon, M. J. (2006). Introduction to Lie Algebras. Springer Science & Business Media.
[2] Payne, S. E., & Thas, J. A. (2009). Finite Generalized Quadrangles. European Mathematical Society. | |
Het Priemmacht-Vermoeden (Projectieve Meetkunde)
Promotor: Koen Thas Het priemmacht-vermoeden (PMV) is een van de meest tot de verbeelding sprekende vermoedens in de Projectieve Meetkunde; het zegt dat de orde van een eindig projectief vlak noodzakelijk een priemmacht is. Ondanks de vele verwoede pogingen in een periode van vele tientallen jaren, staat het vermoeden nog steeds onaangetast overeind. In dit project stellen we voor om een studie uit te voeren van de gekende resultaten, en zoeken we naar extra onderstelde eigenschappen — zoals bepaalde lokale en globale groepacties op het projectieve vlak — die leiden tot een positief antwoord van het vermoeden. Er is veel ruimte voor eigen werk. In het bijzonder denken we ook aan de volgende vraag: “Wat zou een goed oneindig analogon zijn van het PMV ?” | |
Singer Meetkunden (Projectieve Meetkunde)
Promotor: Koen Thas Singer meetkunden zijn punt-rechte meetkunden waarvoor een automorfismengroep (de “Singer groep”) bestaat die scherp transitief werkt op de punten (of de rechten). Eindige projectieve ruimten over velden zijn Singer meetkunden, maar we zagen ze ook al in de context van bijvoorbeeld affiene translatievlakken. Ook enkele kleine voorbeelden van veralgemeende vierhoeken zijn gekend die Singer meetkunden zijn. De literatuur over de theorie van Singer meetkunden is erg uitgebreid, dankzij onder andere de rol die zulke meetkunden spelen in een aantal bekende open problemen (zoals de klassering van vlag-transitieve projectieve vlakken). In dit project onderzoeken we twee vragen: - Welke meetkunden zijn Singer meetkunden ?
- Wanneer is een gegeven groep een Singer groep voor een Singer meetkunde ?
| |
Absolute geometry: a gentle introduction Promoter: Koen Thas
In the 1950s Tits alluded to the fact that one could interpret certain thin geometries as being defined over a "field with one element."
In the late 1980s, Alexander Smirnov gave a series of talks in which he conjectured that the Riemann hypothesis could be proven by seeing the integers Z as a curve over a field with one element. By 1991, Smirnov had taken some steps towards algebraic geometry over F1, introducing extensions of F1 and using them to handle the projective line P1 over F1.
Later Deitmar and others developed the algebro-geometric approach in more detail. In 1995, Kapranov and Smirnov also wrote an interesting but unpublished account on how certain (linear) algebraic and number-theoretic situations would look like if interpreted over F1. More advanced work of Deninger and Manin turned Smirnov's initial ideas on the Riemann-hypothesis viewpoint into more concrete (but still highly conjectural) mathematics.
Much other work has been published since then.
In this Bachelor project, it is the intention to develop a gentle introduction to the theory of "absolute geometry." Much variation and flexibility is possible within this framework. (One sub-project / variation could for instance be: studying characterizations of point-line geometries using only thin subgeometries, of which an abundance exists.)
| |