Bachelor projects

This page lists some examples of bachelor projects offered this year by teachers of the department of Mathematics. This list is limited to up to two subjects per course. For more subjects or questions, feel free to contact the teacher(s) in question.

Polariteiten van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit?  Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn).

Interessante deelstructuren van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden.

 

Normale families (Complexe Analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De stelling van Arzela-Ascoli karakteriseert compactheid van een verzameling van functies voor de metriek van de gelijkmatige convergentie. In de cursus Topologie hebben we niet veel toepassingen van deze stelling gezien. Nochtans wordt ze intensief toegepast in de theorie van de holomorfe functies.

Een compacte verzameling van holomorfe functies (voor de metriek van lokaal gelijkmatige convergentie, en doorgaans met waarden in het boloppervlak van Riemann C υ {∞}) wordt in deze context een normale familie genoemd. Merkwaardig genoeg volstaat het dat elk van de functies in de familie begrensd is door eenzelfde constante om te besluiten dat ze normaal is.

In de cursus Complexe Analyse waren we soms genoodzaakt tot vrij technische bewijzen om aan te tonen dat de convergentie van een rij van holomorfe functies gelijkmatig is (bijv. om te besluiten dat de limietfunctie zelf holomorf is door overdracht van analyticiteit). Een andere toepassing van deze theorie is de verbazende stelling van Vitali die zegt dat het hiertoe volstaat dat de convergentie puntsgewijs geldt in één convergente rij van punten en dat elk van de functies begrensd wordt door eenzelfde constante.

Normale families worden ook gebruikt in bewijzen van een aantal klassieke stellingen in de complexe analyse zoals de afbeeldingsstelling van Riemann (Riemann mapping theorem) en de stelling van Picard.

Als uitgangspunt kunnen delen uit het boek

J. Schiff, Normal families

gebruikt worden.

Convergentie in topologische ruimten (Topologie en metrische ruimten)

Promotor: Hans Vernaeve

Een topologische ruimte wordt doorgaans gedefinieerd a.d.h.v. axioma's voor de open verzamelingen. Ze kan ook gedefinieerd worden a.d.h.v. axioma's voor een ander  basisbegrip, zoals axioma's voor omgevingen, of voor de sluitingsoperator (zie de oefeningen van de cursus Topologie). Omdat convergentie een basisbegrip is in de topologie, kan men zich afvragen of we in een topologische ruimte het begrip "convergentie van een rij" niet centraal kunnen stellen. Dit blijkt echter slechts in willekeurige topologische ruimten te werken als we het begrip "rij" uitbreiden tot een "veralgemeende rij" of "net" (waarvan het domein een hogere kardinaliteit kan hebben dan de verzameling van de natuurlijke getallen). Bovendien moeten we dan ook het begrip "deelrij" op een gepaste manier uitbreiden om de meeste stellingen uit R^n over convergentie van rijen te kunnen veralgemenen tot netten in een willekeurige topologische ruimte. De volgende aspecten kunnen aan bod komen:

-nagaan welke stellingen over rijen geldig blijven voor netten in een willekeurige topologische ruimte

-levert de definitie van convergentie van netten een meer natuurlijke manier om concrete topologieën te beschrijven dan a.d.h.v. open verzamelingen (bijv. de "topologie van de puntsgewijze convergentie" op ruimten van functies)?

-in welke ruimten volstaan rijen om de convergentie te beschrijven? 

-kunnen we alternatieve axioma's geven van een topologische ruimte a.d.h.v. het convergentie-begrip van netten?

-vergelijking met een ander convergentiebegrip in topologische ruimten, de zgn. filter-convergentie.

Projectieve vlakken in projectieve ruimten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Stel je voor dat we een verzameling D van deelruimten hebben van een projectieve ruimte met de eigenschap dat de elementen van D dimensie i of j hebben, met i<j, en elk paar deelruimten van D van dimensie i spant een deelruimte op van dimensie j uit D, en elk paar deelruimten van dimensie j van D snijdt in een deelruimte van dimensie i van D. Er bestaan algebraïsche manieren om zulke verzamelingen D te construeren. Bijvoorbeeld door gebruik te maken van bepaalde collineaties, of door deelvelden te beschouwen van het veld waarover een projectief vlak gedefinieerd is.

Het doel van het project is nu om alle zulke verzamelingen D te klasseren, en dit door zoveel mogelijk meetkundge eigenschappen af te leiden.  Indien dit iets te optimistisch blijkt, dan kan gezocht worden naar meetkundige voorwaarden om een deelklasse te vinden die ten minste alle bovenstaande algebraïsche voorbeelden bevat.Bijkomende voorbeelden construeren, zij het op algebraïsch, zij het op meetkundige wijze, is ook een deel van het project. 

Dit is een onderzoeksproject dat nieuwe en originele resultaten beoogt en een niet-triviale inbreng van de student vereist.

Functionele ongeljikheden en hun toepassingen

Promotoren: Michael Ruzhansky en Jasson Vindas

In dit project bestuderen we een fascinerend deelgebied van de wiskundige analyse gewijd aan functionale ongelijkheden. Dit onderwerp kreeg recent een grote boost dankzij haar banden met problemen uit meetkunde en fysica. Ons doel bestaat uit het bestuderen van enkele ontwikkelingen in functionele ongeljikheden en deze te verbinden met variätierekening en meetkunde. Afhankelijk van de interesse van de student kunnen ook toepassingen uit de fysica behandeld worden.

Referenties

[1] M. Ruzhansky, V. Turunen, Pseudo-differential and symmetries: background analysis and advanced topics, Birkhäuser, Bassel, 2010.

[2] M. Ruzhansky, D. Suragan, N. Yesserkegenov, Sobolov type inequalties, Euler-Helbert-Sobolev and Sobolev-Lorents-Zygmund spaces on homogeneous groups, Integral Equations Operator Theory, 90 (2018), 90:10.

[3] M. Ruzhansky, D. Suragan, Hardy and Rellich inequalities, identities, and sharp remainders on homogeneous groups, Adv. Math, 317 (2017), 799-822.

De Henstock-Kurzweil-integraal (Analyse I en II)

Promotor: Jasson Vindas

De Lebesgue-integraal is een belangrijke uitbreiding van de Riemann-integraal. Deze integraal werd geïntroduceerd om gemakkelijk limiet en integralen te kunnen verwisselen. De stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaak duidelijker te formuleren in termen van de Lebesgue-integraal dan met de Riemann-integraal.

Een zwak punt van de Lebesgue-integratie is dat de tweede hoofdstelling van de integraalrekening niet altijd geldig is voor de Lebesgue-integraal. De tweede hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat een afleidbare functie kan worden teruggewonnen uit zijn afgeleide. Dit was de motivatie om andere integratietheorieen in te voeren die de Lebesgue-integraal uitbreiden en die de tweede hoofdstelling van de integraalrekening beter uitleggen.  Één ervan is de Henstock-Kurzweil-integraal.

De doelstelling van het bachelorproject is de Henstock-Kurzweil-integraal te bestuderen en ook het verband met andere integralen te onderzoeken.  Als uitgangspunt kan het boek [1] gebruikt worden.

Referenties:

[1] R. G. Bartle, A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

 

Middeldewaardestellingen voor rekenkundige functies 

Promotor: Jasson Vindas
 
In elementaire priemgetaltheorie wordt er bewezen dat de priemgetalstelling equivalent is met de volgende uitspraak: de Möbius functie heeft (asymptotisch) een middelwaarde. Erdős en Wintner postuleerden het vermoeden dat elke multiplicatieve functie, die enkel de waarden 1 en -1 aanneemt, een middelwaarde heeft. Het vermoeden van Erdős en Wintner, dat sterker is dan de priemgetalstelling, diende als motivatie om  volgend probleem te bestuderen: formuleer voorwaarden voor rekenkundige functies die het bestaan van een middelwaarde garanderen.
 
Het doel van dit project is om verscheidene stellingen te bestuderen in de theorie van middelwaarden van rekenkundige functies. In het bijzonder zullen we de stelling van Halász bestuderen (die een oplossing biedt voor het vermoeden van Erdős en Wintner). Als uitgangspunt zullen we het boek [1] gebruiken.

Referenties:

[1] W. Schwarz, J. Spilker, Arithmetical functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

Partities

Promotoren: Gregory Debruyne en Jasson Vindas

Een partitie van een geheel getal n is een manier om n als de som van strikt positieve gehelen te schrijven. De volgorde van de termen in de som is hier van geen belang. Zo stellen 1+2 en 2+1 dezelfde partitie voor van 3. Een natuurlijke vraag is dan om het aantal partities p(n) van een gegeven getal n te bepalen.

Een eerste doel van het project is om de volgende verrassende asymptotische formule voor p(n) via methodes uit (complexe) analyse aan te tonen:

Naargelang de interesse van de student kunnen verdere gerelateerde problemen bestudeerd worden.

Referenties

[1] D. Choimet, H. Queffélec, Twelve landmarks of twentieth-century analysis, Cambridge University Press, New York, 2015.
[2] D.J.Newman, Analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1998.

Het Priemmacht-Vermoeden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Het priemmacht-vermoeden (PMV) is een van de meest tot de verbeelding sprekende vermoedens in de Projectieve Meetkunde; het zegt dat de orde van een eindig projectief vlak noodzakelijk een priemmacht is.

Ondanks de vele verwoede pogingen in een periode van vele tientallen jaren, staat het vermoeden nog steeds onaangetast overeind.

In dit project stellen we voor om een studie uit te voeren van de gekende resultaten, en zoeken we naar extra onderstelde eigenschappen — zoals bepaalde lokale en globale groepacties op het projectieve vlak — die leiden tot een positief antwoord van het vermoeden.

Er is veel ruimte voor eigen werk. In het bijzonder denken we ook aan de volgende vraag:

“Wat zou een goed oneindig analogon zijn van het PMV ?”

Singer Meetkunden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Singer meetkunden zijn punt-rechte meetkunden waarvoor een automorfismengroep (de “Singer groep”) bestaat die scherp transitief werkt op de punten (of de rechten).

Eindige projectieve ruimten over velden zijn Singer meetkunden, maar we zagen ze ook al in de context van bijvoorbeeld affiene translatievlakken.  Ook enkele kleine voorbeelden van veralgemeende vierhoeken zijn gekend die Singer meetkunden zijn.

De literatuur over de theorie van Singer meetkunden is erg uitgebreid, dankzij onder andere de rol die zulke meetkunden spelen in een aantal bekende open problemen (zoals de klassering van vlag-transitieve projectieve vlakken).


In dit project onderzoeken we twee vragen:

  1.  Welke meetkunden zijn Singer meetkunden ?
  2.  Wanneer is een gegeven groep een Singer groep voor een Singer meetkunde ?

Combinatorische onderzoeksgebieden met verbanden met projectieve meetkunde (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen de combinatoriek zijn er verschillende domeinen die verbanden hebben met projectieve meetkunde. Zo zijn verschillende problemen binnen de codeertheorie equivalent aan meetkundige problemen binnen de projectieve meetkunde. Analoog worden er voorbeelden van grafen geconstrueerd via meetkundige structuren uit projectieve ruimten. Zo worden er bijvoorbeeld extremale voorbeelden van grafen gevonden.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om een verband tussen projectieve meetkunde en een andere domein uit de combinatoriek te bespreken. Dit omvat de beschrijving van het verband en ook een bespreking van hoe, via meetkundige technieken, deelstructuren uit projectieve meetkunden helpen om nieuwe resultaten in dit ander domein te vinden.

Studie van verzamelingen deelruimten in vectorruimten over eindige velden (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen verschillende domeinen binnen de wiskunde worden verzamelingen deelruimten van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over het eindig veld GF(q) bestudeerd.

Zo worden binnen de vectorruimte V(n,q) verzamelingen deelruimten van dimensie k, die paarsgewijs snijden in (k-t)-dimensionale deelruimten snijden, bestudeerd voor de transmissie van informatie door wireless netwerken.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om bepaalde verzamelingen deelruimten die aan vooropgegeven voorwaarden voldoen, te bestuderen, en hun eigenschappen te bestuderen. Vele van de bewijzen van de eigenschappen van deze verzamelingen deelruimten zijn gebaseerd op eigenschappen uit lineaire algebra, maar ook andere technieken worden gebruikt om deze eigenschappen te bewijzen.

Maximale bogen

Promotor: Maarten De Boeck

Een {k,n}-boog in een projectief vlak van orde q is een verzameling van k punten zodat elke rechte er hoogstens n van bevat. Men kan aantonen dat k hoogstens (n-1)q+n is. Een {(n-1)q+1,n}-boog noemt men dan ook een maximale boog (van graad n). Er zijn heel wat constructies gekend van maximale bogen zowel in desarguesiaanse als niet-desarguesiaanse vlakken, maar er is ook een belangrijk niet-existentieresultaat. Doel van dit bachelorproject is om maximale bogen te bestuderen. Uitgangspunt zijn de doctoraten [1] en [2] (en de referenties daarin). Op basis van de interesse van de student werkt hij/zij bepaalde stukken hieruit in detail uit.

[1] N. Hamilton. Maximal arcs in finite projective planes and associated structures in projective spaces. PhD thesis, The university of Western Australia, 1995.

[2] T. Maes. A geometric approach to Mathon maximal arcs. PhD thesis, UGent, 2011.

Quandles (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Jens Bossaert

Groepen zijn algebraïsche structuren waarvan de axioma’s worden gemotiveerd door symmetrie en zijn universeel aanwezig binnen de wiskunde. Minder bekend zijn zogenaamde quandles: algebraïsche structuren waarvan de axioma’s worden gemotiveerd door de Reidemeisterbewegingen, die dicteren hoe knopen om te vormen zijn. Het moge geen verrassing zijn dat deze quandles hun eerste successen kenden in de knopentheorie; zo bewees Joyce in 1982 dat aan elke knoop een quandle geassocieerd kan worden die de knoop op isomorfisme na onderscheidt, wat voor de klassiekere groepen-invarianten van knopen niet het geval is. Ook in andere contexten steken deze structuren wel eens de kop op.

Het doel van dit project is om de theorie van quandles op te starten, en bijvoorbeeld toepassingen in knopentheorie of computationele aspecten te onderzoeken. We verwachten dat de student zich de relevante basisbegrippen omtrent knopen zelfstandig eigen maakt, maar deze theorie is vrij intuïtief en dit zou dan ook geen problemen mogen geven.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Racks_and_quandles.

Het Leech rooster (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Michiel Van Couwenberghe

Het Leech-rooster is een 24-dimensionaal rooster dat opduikt in verschillende gebieden van de wiskunde. De eerste constructie van het rooster hield verband met het probleem van bolpakkingen. Daarnaast duikt het Leech-rooster op in onder andere de codeertheorie, designtheorie en niet het minst in de algebra, meer bepaald in de groepentheorie. De automorfismengroep van het Leech-rooster is de immense Conway-groep Co0. Na het uitdelen van zijn centrum van orde twee bekomt men de sporadische enkelvoudige groep Co1. Bovendien kunnen vele andere sporadische groepen worden geconstrueerd als stabilisatoren van bepaalde vectorconfiguraties in het rooster.

Het doel van dit project is om één van de vele constructies van het Leech-rooster te doorgronden met als doel zijn automorfismengroep beter te begrijpen. Vervolgens besteden we de nodige aandacht aan de enkelvoudige groepen die kunnen worden beschreven aan de hand van het Leech-rooster. We proberen meer inzicht te krijgen in deze groepen door een aantal elementen van lage orde te beschrijven.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice.

Wortelsystemen (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Jeroen Meulewaeter

Een wortelsysteem is een eindige verzameling vectoren in de n-dimensionale Euclidische ruimte die aan bepaalde axioma’s voldoet. Ondanks deze meetkundige interpretatie duiken ze vooral op in de algebra. Zo zijn er verbanden met Lie algebra’s, Coxetergroepen en lineaire algebraïsche groepen. Zoals in veel andere gebieden van de wiskunde, is er ook een notie van irreducibiliteit. Irreducibele wortelsystemen zijn als het ware de bouwstenen van alle wortelsystemen.

Het doel van dit project is om de classificatie van de irreducibele wortelsystemen te doorgronden. Hierna kunnen, naargelang de interesse van de student, de volgende onderwerpen aan bod komen: Coxetergroepen, computationele aspecten horende bij Coxetergroepen en/of wortelsystemen, een introductie tot Lie algebra’s…  Bij al deze onderwerpen zal de nadruk liggen op verbanden met wortelsystemen.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Root_system.

The arithmetic of ideals in a Leavitt path algebra

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Simon Rigby

Ideals are special additive subgroups of a (not necessarily commutative) ring that absorb multiplication from the left (RI ⊆ I) or the right (IR ⊆ I) or both. The set of two-sided ideals in a given ring is a lattice and has an arithmetical life of its own, with operations like addition, multiplication, and sometimes even division or unique factorisation into prime ideals.

Many of our favourite commutative rings, like principal ideal domains, satisfy distributive laws like: I∩(J+K) = I∩J+I∩K and I(J∩K) = IJ∩IK for all ideals I,J,K. In the world of non-commutative rings, this phenomenon seems less likely, but it can happen.

From this point of view, it is interesting to learn about Leavitt path algebras. These are non-commutative rings that are defined by a set of rules encoded in an arbitrary directed graph. The subject has a very combinatorial flavour, and it has seen some lively and interesting developments since it was introduced in 2005. For instance, there are indications of a rich (and largely unexplored) multiplicative ideal theory in Leavitt path algebras, involving distributive laws and other identities like the ones above [2].

This project requires only a basic background in rings and linear algebra, as seen in the second year algebra courses. The goal is to study theorems about the identities (e.g. distributive laws) that ideals satisfy in certain kinds of commutative rings, and in Leavitt path algebras.

References:

1. M. Kanuni and S. Sert, A survey on the ideal structure of Leavitt path algebras, arXiv preprint, arXiv:1810.08602v1 (2018).
2. K.M. Rangaswamy, The multiplicative ideal theory of Leavitt path algebras, J. Algebra 487 (2017), 173–199.

Grote kardinaalgetallen

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project worden oneindige verzamelingen gebestudeerd die zo groot zijn dat men hun bestaan niet meer in de gewone wiskunde bewijzen. Het gaat erom de "small large cardinals" te kaderen en met elkaar te vergelijken. Daarvoor zou de theorie uit het boek van Jech uitgewerkt worden.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over verzamelingenleer verwacht. 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

 

Primitief recursieve functies

Promotor Andreas Weiermann

 

De primitief recursieve functions vormen een klasse van berekenbare functies die door samenstelling en eenvoudige recursies uit zekere basisfuncties gedefinieerd zijn. In het project gaat het erom de basistheorie van deze functies te uit te werken en daarna enkele niet voor de hand liggende eigenschappen ervan te bewijzen.

Indien de student(e) ervoor kiest kunnen ook wat onderzoeksaspecten in het project geïntegreerd worden.

Referenties

1. Een boek over recursietheorie zoals bijvoorbeeld het boek van Soare.

2. Twee preprints van de promotor.

Het Scott model voor de Lambda calculus

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project zal het Scott model D voor de Lambda calculus doorgenomen worden.  D is interessant omdat D op zekere manier isomorf met de ruimte van functies van D naar D is. De Lambda calculus ligt aan de basis van functionele programmeertalen en het project is misschien bijzonder interessant voor een student met interesse aan theoretische vraagstukken uit de informatica.

Referenties 

Lambda Calculus. Henk Barendregt. North Holland.