Bachelor projects

This page lists some examples of bachelor projects offered this year by teachers of the department of Mathematics. This list is limited to up to two subjects per course. For more subjects or questions, feel free to contact the teacher(s) in question.

Polariteiten van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit?  Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn).

Interessante deelstructuren van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden.

 

Differentiaalvormen en hun toepassingen

Promotor: Frans Cantrijn

Bedoeling van dit project is aan de hand van het boek van Manfredo P. do Carmo, “Differential Forms and Applications” (Springer,1994), een studie te maken van differentiaalvormen en het gebruik ervan ondermeer bij de studie van de intrinsieke meetkunde van oppervlakken in de 3-dimensionale Euclidische ruimte. Het boek begint met een eenvoudige behandeling van differentiaalvormen op een Euclidische ruimte. Na een beknopte en elementaire inleiding op algemene differentieerbare variëteiten, worden differentiaalvormen op een meer intrinsieke wijze aangebracht waarna deze gebruikt worden om de stelling van Stokes te kunnen formuleren in een natuurlijk kader. Vervolgens wordt de methode van “moving frames” van Cartan uiteengezet en toegepast op de studie van de lokale differentiaalmeetkunde van oppervlakken in de 3-dimensionale Euclidische ruimte.

Lagrangiaanse veldentheorie

Promotor: Frans Cantrijn

Voor de theoretische fysica neemt de Lagrangiaanse veldentheorie een heel belangrijke plaats in. Een stelsel partiële differentiaalvergelijkingen noemt men Lagrangiaans als ze via een variationeel principe kunnen afgeleid worden van een functie, de Lagrangiaan, die afhankelijk is van een aantal onafhankelijk veranderlijken, een aantal afhankelijk veranderlijken (de zogenaamde ‘velden’) en hun partiële afgeleiden. Aan de hand van enkele artikels en/of een boek wordt er met dit project verwacht dat de student de Lagrangiaanse veldvergelijkingen invoert en er bepaalde eigenschappen van bestudeerd, o.a. de beroemde stelling van Noether die het verband legt tussen symmetrieën van dergelijke vergelijkingen en behoudswetten.

Normale families (Complexe Analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De stelling van Arzela-Ascoli karakteriseert compactheid van een verzameling van functies voor de metriek van de gelijkmatige convergentie. In de cursus Topologie hebben we niet veel toepassingen van deze stelling gezien. Nochtans wordt ze intensief toegepast in de theorie van de holomorfe functies.

Een compacte verzameling van holomorfe functies (voor de metriek van lokaal gelijkmatige convergentie, en doorgaans met waarden in het boloppervlak van Riemann C υ {∞}) wordt in deze context een normale familie genoemd. Merkwaardig genoeg volstaat het dat elk van de functies in de familie begrensd is door eenzelfde constante om te besluiten dat ze normaal is.

In de cursus Complexe Analyse waren we soms genoodzaakt tot vrij technische bewijzen om aan te tonen dat de convergentie van een rij van holomorfe functies gelijkmatig is (bijv. om te besluiten dat de limietfunctie zelf holomorf is door overdracht van analyticiteit). Een andere toepassing van deze theorie is de verbazende stelling van Vitali die zegt dat het hiertoe volstaat dat de convergentie puntsgewijs geldt in één convergente rij van punten en dat elk van de functies begrensd wordt door eenzelfde constante.

Normale families worden ook gebruikt in bewijzen van een aantal klassieke stellingen in de complexe analyse zoals de afbeeldingsstelling van Riemann (Riemann mapping theorem) en de stelling van Picard.

Als uitgangspunt kunnen delen uit het boek

J. Schiff, Normal families

gebruikt worden.

Convergentie in topologische ruimten (Topologie en metrische ruimten)

Promotor: Hans Vernaeve

Een topologische ruimte wordt doorgaans gedefinieerd a.d.h.v. axioma's voor de open verzamelingen. Ze kan ook gedefinieerd worden a.d.h.v. axioma's voor een ander  basisbegrip, zoals axioma's voor omgevingen, of voor de sluitingsoperator (zie de oefeningen van de cursus Topologie). Omdat convergentie een basisbegrip is in de topologie, kan men zich afvragen of we in een topologische ruimte het begrip "convergentie van een rij" niet centraal kunnen stellen. Dit blijkt echter slechts in willekeurige topologische ruimten te werken als we het begrip "rij" uitbreiden tot een "veralgemeende rij" of "net" (waarvan het domein een hogere kardinaliteit kan hebben dan de verzameling van de natuurlijke getallen). Bovendien moeten we dan ook het begrip "deelrij" op een gepaste manier uitbreiden om de meeste stellingen uit R^n over convergentie van rijen te kunnen veralgemenen tot netten in een willekeurige topologische ruimte. De volgende aspecten kunnen aan bod komen:

-nagaan welke stellingen over rijen geldig blijven voor netten in een willekeurige topologische ruimte

-levert de definitie van convergentie van netten een meer natuurlijke manier om concrete topologieën te beschrijven dan a.d.h.v. open verzamelingen (bijv. de "topologie van de puntsgewijze convergentie" op ruimten van functies)?

-in welke ruimten volstaan rijen om de convergentie te beschrijven? 

-kunnen we alternatieve axioma's geven van een topologische ruimte a.d.h.v. het convergentie-begrip van netten?

-vergelijking met een ander convergentiebegrip in topologische ruimten, de zgn. filter-convergentie.

Elementair bewijs van de priemgetalstelling (Analyse I) 

Promotor: Jasson Vindas 

De priemgetalstelling beschrijft het asymptotisch gedrag van de verdeling van priemgetallen. De gangbare bewijzen van deze stelling maken gebruik van methodes uit de complexe analyse en eigenschappen van de Riemann-zèta-functie. Merkwaardig genoeg geloofden enkele wiskundigen in de eerste helft van de twintigste eeuw dat het gebruik van complexe analyse absoluut noodzakelijk was om de priemgetalstelling te bewijzen. In 1948 gaven Selberg en Erdős echter een 'elementair' bewijs waarin de Riemann-zèta-functie niet wordt gebruikt. 

In dit project bestuderen we elementaire methodes in de theorie van de verdeling van priemgetallen. Een specifiek doel is een grondige studie van het bewijs van Selberg en Erdős. 

Referenties

[1] P. Bateman, H. Diamond, Analytic number theory. An introductory course, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2004.

[2] H. Diamond, Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 553–589.

[3] H. Montgomery, R. Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

De Henstock-Kurzweil-integraal (Analyse I en II)

Promotor: Jasson Vindas

De Lebesgue-integraal is een belangrijke uitbreiding van de Riemann-integraal. Deze integraal werd geïntroduceerd om gemakkelijk limiet en integralen te kunnen verwisselen. De stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaak duidelijker te formuleren in termen van de Lebesgue-integraal dan met de Riemann-integraal.

Een zwak punt van de Lebesgue-integratie is dat de tweede hoofdstelling van de integraalrekening niet altijd geldig is voor de Lebesgue-integraal. De tweede hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat een afleidbare functie kan worden teruggewonnen uit zijn afgeleide. Dit was de motivatie om andere integratietheorieen in te voeren die de Lebesgue-integraal uitbreiden en die de tweede hoofdstelling van de integraalrekening beter uitleggen.  Één ervan is de Henstock-Kurzweil-integraal.

De doelstelling van het bachelorproject is de Henstock-Kurzweil-integraal te bestuderen en ook het verband met andere integralen te onderzoeken.  Als uitgangspunt kan het boek [1] gebruikt worden.

Referenties:

[1] R. G. Bartle, A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

 

Gemiddeldewaardestellingen voor rekenkundige functies (Analyse II en Complexe Analyse)  

Promotor: Jasson Vindas
 
In elementaire priemgetaltheorie wordt er bewezen dat de priemgetalstelling equivalent is met de volgende uitspraak: de Möbius functie heeft (asymptotisch) een gemiddelde waarde. Erdős en Wintner postuleerden het vermoeden dat elke multiplicatieve functie, die enkel de waarden 1, 0 en -1 aanneemt, een gemiddelde waarde heeft. Het vermoeden van Erdős en Wintner, dat sterker is dan de priemgetalstelling, diende als motivatie om  volgend probleem te bestuderen: formuleer voorwaarden voor rekenkundige functies die het bestaan van een gemiddelde waarde garanderen.
 
Het doel van dit project is om verscheidene stellingen te bestuderen in de theorie van gemiddelde waarden van rekenkundige functies. In het bijzonder zullen we de stelling van Halász bestuderen (die een oplossing biedt voor het vermoeden van Erdős en Wintner). Als uitgangspunt zullen we het boek [1] gebruiken.

Referenties:

[1] W. Schwarz, J. Spilker, Arithmetical functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

Combinatorische structuren (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen de combinatoriek worden verschillende structuren bestudeerd. Twee belangrijke structuren, die verbanden hebben met andere domeinen, zijn de Designs en de Latijnse vierkanten.

Designs werden ontworpen voor het ontwerpen van experimenten en steekproeven. Latijnse vierkanten hebben vele toepassingen, en ook zij kunnen gebruikt worden voor het opstellen van steekproeven. Hier vormen bijvoorbeeld de sudoku's bijzondere latijnse vierkanten.

De studie van Designs en Latijnse vierkanten gebruikt vele technieken: teltechnieken, matrixtechnieken, eindige velden, ...

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om of Designs of Latijnse vierkanten, of beide structuren te bestuderen, om verbanden met andere domeinen te bestuderen, en eventueel ook praktische toepassingen van deze structuren te bestuderen.

Referenties

 T. Beth, D. Jungnickel and H. Lenz: Design Theory. Second edition. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 69. Cambridge University press, Cambridge, (1999).

 C.F. Laywine and G.L Mullen: Discrete mathematics using Latin squares. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. New York: John Wiley & Sons (1998).

 

 

Studie van verzamelingen deelruimten in vectorruimten over eindige velden (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen verschillende domeinen binnen de wiskunde worden verzamelingen deelruimten van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over het eindig veld GF(q) bestudeerd.

Zo worden binnen de vectorruimte V(n,q) verzamelingen deelruimten van dimensie k, die paarsgewijs snijden in (k-t)-dimensionale deelruimten snijden, bestudeerd voor de transmissie van informatie door wireless netwerken.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om bepaalde verzamelingen deelruimten die aan vooropgegeven voorwaarden voldoen, te bestuderen, en hun eigenschappen te bestuderen. Vele van de bewijzen van de eigenschappen van deze verzamelingen deelruimten zijn gebaseerd op eigenschappen uit lineaire algebra, maar ook andere technieken worden gebruikt om deze eigenschappen te bewijzen.

Vandermondeverzamelingen in eindige velden

Promotor: Maarten De Boeck

Een (super-)Vandermondeverzameling is een deelverzameling van een eindig veld bepaald door een voorwaarde op de som van de machten. Deze werden ingevoerd om een resultaat over een bepaalde puntenverzameling in PG(2,q) te bestuderen. De bedoeling van dit project is om deze (super-)Vandermondeverzamelingen te bestuderen: karakterisatie, voorbeelden en classificatie, en ook de meetkundige oorsprong. De literatuur over Vandermonde- en super-Vandermondeverzamelingen is nog niet zo uitgebreid, dus is het ook de bedoeling dat de student zelf een en ander uitzoekt, bijvoorbeeld door een volledige classificatie te maken voor enkele velden met een lage orde.

Quandles (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Jens Bossaert

Groepen zijn algebraïsche structuren waarvan de axioma’s worden gemotiveerd door symmetrie en zijn universeel aanwezig binnen de wiskunde. Minder bekend zijn zogenaamde quandles: algebraïsche structuren waarvan de axioma’s worden gemotiveerd door de Reidemeisterbewegingen, die dicteren hoe knopen om te vormen zijn. Het moge geen verrassing zijn dat deze quandles hun eerste successen kenden in de knopentheorie; zo bewees Joyce in 1982 dat aan elke knoop een quandle geassocieerd kan worden die de knoop op isomorfisme na onderscheidt, wat voor de klassiekere groepen-invarianten van knopen niet het geval is. Ook in andere contexten steken deze structuren wel eens de kop op.

Het doel van dit project is om de theorie van quandles op te starten, en bijvoorbeeld toepassingen in knopentheorie of computationele aspecten te onderzoeken. We verwachten dat de student zich de relevante basisbegrippen omtrent knopen zelfstandig eigen maakt, maar deze theorie is vrij intuïtief en dit zou dan ook geen problemen mogen geven.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Racks_and_quandles.

Het Leech rooster (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Michiel Van Couwenberghe

Het Leech-rooster is een 24-dimensionaal rooster dat opduikt in verschillende gebieden van de wiskunde. De eerste constructie van het rooster hield verband met het probleem van bolpakkingen. Daarnaast duikt het Leech-rooster op in onder andere de codeertheorie, designtheorie en niet het minst in de algebra, meer bepaald in de groepentheorie. De automorfismengroep van het Leech-rooster is de immense Conway-groep Co0. Na het uitdelen van zijn centrum van orde twee bekomt men de sporadische enkelvoudige groep Co1. Bovendien kunnen vele andere sporadische groepen worden geconstrueerd als stabilisatoren van bepaalde vectorconfiguraties in het rooster.

Het doel van dit project is om één van de vele constructies van het Leech-rooster te doorgronden met als doel zijn automorfismengroep beter te begrijpen. Vervolgens besteden we de nodige aandacht aan de enkelvoudige groepen die kunnen worden beschreven aan de hand van het Leech-rooster. We proberen meer inzicht te krijgen in deze groepen door een aantal elementen van lage orde te beschrijven.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice.

Wortelsystemen (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts
Begeleiding: Jeroen Meulewaeter

Een wortelsysteem is een eindige verzameling vectoren in de n-dimensionale Euclidische ruimte die aan bepaalde axioma’s voldoet. Ondanks deze meetkundige interpretatie duiken ze vooral op in de algebra. Zo zijn er verbanden met Lie algebra’s, Coxetergroepen en lineaire algebraïsche groepen. Zoals in veel andere gebieden van de wiskunde, is er ook een notie van irreducibiliteit. Irreducibele wortelsystemen zijn als het ware de bouwstenen van alle wortelsystemen.

Het doel van dit project is om de classificatie van de irreducibele wortelsystemen te doorgronden. Hierna kunnen, naargelang de interesse van de student, de volgende onderwerpen aan bod komen: Coxetergroepen, computationele aspecten horende bij Coxetergroepen en/of wortelsystemen, een introductie tot Lie algebra’s…  Bij al deze onderwerpen zal de nadruk liggen op verbanden met wortelsystemen.

Zie ook https://en.wikipedia.org/wiki/Root_system.

Grote kardinaalgetallen

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project worden oneindige verzamelingen gebestudeerd die zo groot zijn dat men hun bestaan niet meer in de gewone wiskunde bewijzen. Het gaat erom de "small large cardinals" te kaderen en met elkaar te vergelijken. Daarvoor zou de theorie uit het boek van Jech uitgewerkt worden.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over verzamelingenleer verwacht. 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

 

Het Scott model voor de Lambda calculus

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project zal het Scott model D voor de Lambda calculus doorgenomen worden.  D is interessant omdat D op zekere manier isomorf met de ruimte van functies van D naar D is. De Lambda calculus ligt aan de basis van functionele programmeertalen en het project is misschien bijzonder interessant voor een student met interesse aan theoretische vraagstukken uit de informatica.

Referenties 

Lambda Calculus. Henk Barendregt. North Holland.