Bachelorprojecten

Op deze pagina staan enkele voorbeelden van bachelorporjecten die dit jaar worden aangeboden door lesgevers van de vakgroep Wiskunde. Deze lijst is beperkt tot maximaal twee onderwerpen per vak. Voor bijkomende onderwerpen of vragen kan je je steeds tot de betreffende lesgever(s) wenden.

Polariteiten van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit?  Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn).

Interessante deelstructuren van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden.

 

Normale families (Complexe Analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De stelling van Arzela-Ascoli karakteriseert compactheid van een verzameling van functies voor de metriek van de gelijkmatige convergentie. In de cursus Topologie hebben we niet veel toepassingen van deze stelling gezien. Nochtans wordt ze intensief toegepast in de theorie van de holomorfe functies.

Een compacte verzameling van holomorfe functies (voor de metriek van lokaal gelijkmatige convergentie, en doorgaans met waarden in het boloppervlak van Riemann C υ {∞}) wordt in deze context een normale familie genoemd. Merkwaardig genoeg volstaat het dat elk van de functies in de familie begrensd is door eenzelfde constante om te besluiten dat ze normaal is.

In de cursus Complexe Analyse waren we soms genoodzaakt tot vrij technische bewijzen om aan te tonen dat de convergentie van een rij van holomorfe functies gelijkmatig is (bijv. om te besluiten dat de limietfunctie zelf holomorf is door overdracht van analyticiteit). Een andere toepassing van deze theorie is de verbazende stelling van Vitali die zegt dat het hiertoe volstaat dat de convergentie puntsgewijs geldt in één convergente rij van punten en dat elk van de functies begrensd wordt door eenzelfde constante.

Normale families worden ook gebruikt in bewijzen van een aantal klassieke stellingen in de complexe analyse zoals de afbeeldingsstelling van Riemann (Riemann mapping theorem) en de stelling van Picard.

Als uitgangspunt kunnen delen uit het boek

J. Schiff, Normal families

gebruikt worden.

Maten op lokaal compacte groepen (Maattheorie)

Promotor: Hans Vernaeve

De Lebesguemaat is (op een constante na) de unieke translatie-invariante maat op R^n. Vatten we translatie-invariantie op als groep-invariantie onder de additieve groepsstructuur op R^n, dan kunnen we ons afvragen of meer algemeen op topologische groepen (=groepen die tegelijk topologische ruimten zijn) een (unieke) groep-invariante maat bestaat. Als de groep lokaal compact is, dan is dit steeds het geval. De corresponderende maat wordt de Haar-maat genoemd. Het is de bedoeling deze stelling te bewijzen en na te gaan hoe in concrete voorbeelden deze Haar-maat eruit ziet, ook voor niet-commutatieve groepen, en een aantal toepassingen van die stelling te behandelen.

De formule van Jensen (Complexe Analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De formule van Jensen geeft een begrenzing van het aantal nulpunten van een holomorfe functie in functie van de groeisnelheid van de functie. Ze is i.h.b. nuttig voor zgn. holomorfe functies van eindige orde, d.w.z. die begrensd worden door exp(|z|k) voor zekere k, waar ze toelaat zulke functies te ontbinden in (een oneindig aantal) lineaire factoren (vermenigvuldigd met gepaste exponentiële functies). Het is de bedoeling de formule te bewijzen en er eigenschappen uit af te leiden van een bepaald type van holomorfe functies op de eenheidsbal, de zgn. Hardy-ruimten (H0, H1 en Honeindig).

Convergentie in topologische ruimten (Topologie en metrische ruimten)

Promotor: Hans Vernaeve

Een topologische ruimte wordt doorgaans gedefinieerd a.d.h.v. axioma's voor de open verzamelingen. Ze kan ook gedefinieerd worden a.d.h.v. axioma's voor een ander  basisbegrip, zoals axioma's voor omgevingen, of voor de sluitingsoperator (zie de oefeningen van de cursus Topologie). Omdat convergentie een basisbegrip is in de topologie, kan men zich afvragen of we in een topologische ruimte het begrip "convergentie van een rij" niet centraal kunnen stellen. Dit blijkt echter slechts in willekeurige topologische ruimten te werken als we het begrip "rij" uitbreiden tot een "veralgemeende rij" of "net" (waarvan het domein een hogere kardinaliteit kan hebben dan de verzameling van de natuurlijke getallen). Bovendien moeten we dan ook het begrip "deelrij" op een gepaste manier uitbreiden om de meeste stellingen uit R^n over convergentie van rijen te kunnen veralgemenen tot netten in een willekeurige topologische ruimte. De volgende aspecten kunnen aan bod komen:

-nagaan welke stellingen over rijen geldig blijven voor netten in een willekeurige topologische ruimte

-levert de definitie van convergentie van netten een meer natuurlijke manier om concrete topologieën te beschrijven dan a.d.h.v. open verzamelingen (bijv. de "topologie van de puntsgewijze convergentie" op ruimten van functies)?

-in welke ruimten volstaan rijen om de convergentie te beschrijven? 

-kunnen we alternatieve axioma's geven van een topologische ruimte a.d.h.v. het convergentie-begrip van netten?

-vergelijking met een ander convergentiebegrip in topologische ruimten, de zgn. filter-convergentie.

Axiomatische meetkunde (LAM 2 en projectieve meetkunde)

Promotor: Hendrik Van Maldeghem 

In de huidige cursus LAM 2 worden affiene ruimten axiomatisch ingevoerd. De bedoeling van dit project is enerzijds om dit te bestuderen (want jullie hebben dit niet gezien) en anderzijds om iets analoog te doen voor projectieve ruimten. Als kers op de taart kan dan gekeken worden naar een axiomastelsel van semi-affiene ruimten; deze laatste zijn ruimten die liggen tussen affiene en projectieve ruimten en een soort synthese vormen van beide.

(Andere projecten met affiene ruimten zijn ook mogelijk)

Diepere grafentheorie (Discrete wiskunde 2)

 Promotor: Hendrik Van Maldeghem

In de cursus Discrete Wiskunde 2 snijden we in een aantal hoofdstukken onderwerpen aan waarvan we de basiseigenschappen bewijzen. De bedoeling van dit project zou zijn om dieper in te gaan op de theorie van een bepaald hoofdstuk, naar keuze. De mogelijkheden zijn: algebraïsche grafentheorie (welke graaf-theoretische eigenschappen kunnen bepaald worden door het spectrum), het kleuren van grafen (bijvoorbeeld de klassering van perfecte grafen, boogkleuringen), koppelingen (bijvoorbeeld een meer algemene min-cut-max-flow stelling) en diepere eigenschappen van bomen (eventueel groepacties op oneindige bomen). Alternatief kan de opgave zijn om na te gaan in welke mate een bepaalde theorie geldt voor multigrafen met zelflussen of gerichte grafen. Voor sommige onderwerpen kan daarbij als illustratie ook met de 3D-printer gewerkt worden. Andere mogelijkheden behelzen de studie van vlakke grafen, Ramsey theorie, etc.

Klassieke theorie van de kegelsneden (Vakkennis Wiskunde en LAM 2)

Promotor: Hendrik Van Maldeghem 

De bedoeling van dit project is om de klassieke theorie van de reële kegelsneden in volle  algemeenheid te bestuderen. Daarbij kan eventueel ook gedacht worden aan de benadering à la Steiner via perspectieve puntenrijen en stralenwaaiers. Afhankelijk van de smaak van de student(e) kan de nadruk meer op de theorie of meer op de oefeningen, voornamelijk interessante meetkundige plaatsen, gelegd worden.

Constructie van eindige velden (Discrete Wiskunde I en Computerproject Wiskunde)

Promotor: Jeroen Demeyer

Om een eindig veld Fq met q = pn te construeren, heb je een irreduciebel polynoom nodig van graad n over het priemveld Fp. In de les Discrete Wiskunde I (en andere vakken) werd zo'n polynoom altijd gegeven, maar hoe vind je zo'n polynoom?

Bovendien moeten we soms extra eisen leggen op het polynoom. We willen bijvoorbeeld een primitief polynoom waarbij een nulpunt een voortbrenger is van de multiplicatieve groep Fq*. Het is ook handig om een canoniek polynoom te hebben zodat iedereen altijd hetzelde polynoom gebruikt (dat maakt het delen van data gemakkelijker). Dit leidt tot de definitie van de Conway-polynomen [1].

De bedoeling van dit bachelorproject is om verschillende manieren om zo'n polynoom te maken te bestuderen en te implementeren in Sage.

Referenties

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_polynomial_%28finite_fields%29

Elementair bewijs van de priemgetalstelling (Analyse I) 

Promotor: Jasson Vindas 

De priemgetalstelling beschrijft het asymptotisch gedrag van de verdeling van priemgetallen. De gangbare bewijzen van deze stelling maken gebruik van methodes uit de complexe analyse en eigenschappen van de Riemann-zèta-functie. Merkwaardig genoeg geloofden enkele wiskundigen in de eerste helft van de twintigste eeuw dat het gebruik van complexe analyse absoluut noodzakelijk was om de priemgetalstelling te bewijzen. In 1948 gaven Selberg en Erdős echter een 'elementair' bewijs waarin de Riemann-zèta-functie niet wordt gebruikt. 

In dit project bestuderen we elementaire methodes in de theorie van de verdeling van priemgetallen. Een specifiek doel is een grondige studie van het bewijs van Selberg en Erdős. 

Referenties

[1] P. Bateman, H. Diamond, Analytic number theory. An introductory course, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2004.

[2] H. Diamond, Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 553–589.

[3] H. Montgomery, R. Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

De Henstock-Kurzweil-integraal (Analyse I en II)

Promotor: Jasson Vindas

De Lebesgue-integraal is een belangrijke uitbreiding van de Riemann-integraal. Deze integraal werd geïntroduceerd om gemakkelijk limiet en integralen te kunnen verwisselen. De stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaak duidelijker te formuleren in termen van de Lebesgue-integraal dan met de Riemann-integraal.

Een zwak punt van de Lebesgue-integratie is dat de tweede hoofdstelling van de integraalrekening niet altijd geldig is voor de Lebesgue-integraal. De tweede hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat een afleidbare functie kan worden teruggewonnen uit zijn afgeleide. Dit was de motivatie om andere integratietheorieen in te voeren die de Lebesgue-integraal uitbreiden en die de tweede hoofdstelling van de integraalrekening beter uitleggen.  Één ervan is de Henstock-Kurzweil-integraal.

De doelstelling van het bachelorproject is de Henstock-Kurzweil-integraal te bestuderen en ook het verband met andere integralen te onderzoeken.  Als uitgangspunt kan het boek [1] gebruikt worden.

Referenties:

[1] R. G. Bartle, A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

 

Gemiddeldewaardestellingen voor rekenkundige functies (Analyse II en Complexe Analyse)  

Promotor: Jasson Vindas
 
In elementaire priemgetaltheorie wordt er bewezen dat de priemgetalstelling equivalent is met de volgende uitspraak: de Möbius functie heeft (asymptotisch) een gemiddelde waarde. Erdős en Wintner postuleerden het vermoeden dat elke multiplicatieve functie, die enkel de waarden 1, 0 en -1 aanneemt, een gemiddelde waarde heeft. Het vermoeden van Erdős en Wintner, dat sterker is dan de priemgetalstelling, diende als motivatie om  volgend probleem te bestuderen: formuleer voorwaarden voor rekenkundige functies die het bestaan van een gemiddelde waarde garanderen.
 
Het doel van dit project is om verscheidene stellingen te bestuderen in de theorie van gemiddelde waarden van rekenkundige functies. In het bijzonder zullen we de stelling van Halász bestuderen (die een oplossing biedt voor het vermoeden van Erdős en Wintner). Als uitgangspunt zullen we het boek [1] gebruiken.

Referenties:

[1] W. Schwarz, J. Spilker, Arithmetical functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

Combinatorische structuren (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen de combinatoriek worden verschillende structuren bestudeerd. Twee belangrijke structuren, die verbanden hebben met andere domeinen, zijn de Designs en de Latijnse vierkanten.

Designs werden ontworpen voor het ontwerpen van experimenten en steekproeven. Latijnse vierkanten hebben vele toepassingen, en ook zij kunnen gebruikt worden voor het opstellen van steekproeven. Hier vormen bijvoorbeeld de sudoku's bijzondere latijnse vierkanten.

De studie van Designs en Latijnse vierkanten gebruikt vele technieken: teltechnieken, matrixtechnieken, eindige velden, ...

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om of Designs of Latijnse vierkanten, of beide structuren te bestuderen, om verbanden met andere domeinen te bestuderen, en eventueel ook praktische toepassingen van deze structuren te bestuderen.

Referenties

 T. Beth, D. Jungnickel and H. Lenz: Design Theory. Second edition. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 69. Cambridge University press, Cambridge, (1999).

 C.F. Laywine and G.L Mullen: Discrete mathematics using Latin squares. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. New York: John Wiley & Sons (1998).

 

 

Studie van verzamelingen deelruimten in vectorruimten over eindige velden (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen verschillende domeinen binnen de wiskunde worden verzamelingen deelruimten van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over het eindig veld GF(q) bestudeerd.

Zo worden binnen de vectorruimte V(n,q) verzamelingen deelruimten van dimensie k, die paarsgewijs snijden in (k-t)-dimensionale deelruimten snijden, bestudeerd voor de transmissie van informatie door wireless netwerken.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om bepaalde verzamelingen deelruimten die aan vooropgegeven voorwaarden voldoen, te bestuderen, en hun eigenschappen te bestuderen. Vele van de bewijzen van de eigenschappen van deze verzamelingen deelruimten zijn gebaseerd op eigenschappen uit lineaire algebra, maar ook andere technieken worden gebruikt om deze eigenschappen te bewijzen.

Cohomologie van groepen (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts

Begeleiding: Michiel Van Couwenberghe en Karsten Naert


Groepencohomologie is een wiskundige techniek die toelaat om groepen te bestuderen. Deze techniek bestaat er in dat groepen worden bestudeerd aan de hand van representaties. Voor een bepaalde representatie M van een groep G bepaalt men groepen Hn(G,M) en Hn(G,M) die op hun beurt informatie geven over de groep G. De definitie van deze groepen en hun interpretatie voor lage n in termen van de groep G snappen is een eerste stap in dit bachelorproject.

Vervolgens zijn de toepassingen eindeloos. Het berekenen van een aantal cohomologiegroepen (al dan niet met de computer) vormt op zich een leuke wiskundige uitdaging. Door dit voor een aantal specifieke groepen te doen is het mogelijk om de wallpaper groepen die van belang zijn in de kristallografie op elegante wijze te classificeren. Een andere toepassing is het bewijs van de stelling van Schur-Zassenhaus die stelt dat indien een eindige groep G een normaaldeler N bevat wiens orde copriem is met de orde van de quotiëntgroep G/N, dan G een semidirect product is van N en G/N.

Involuties en bilineaire vormen (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts

Begeleiding: Andrew Dolphin


Involuties van algebra's zijn anti-automorfismen van orde 2. We bekijken involuties van matrix-algebra's over velden en lichamen, bijvoorbeeld de transpostie-afbeelding voor matrices. Ze worden gebruikt om deze algebra's te bestuderen. Ze zijn bijvoorbeeld belangrijk in de classificatie en opbouw van algebra's via het Cayley-Dickson proces dat quaternionen en octonionen algebra's construeert uit een bepaalde kwadratische uitbreiding.


Elke symmetrische of scheef-symmetrische bilineaire vorm heeft een bijbehorende involutie op de endomorfismen-algebra van de vectorruimte. Omgekeerd kan elke involutie op de endomorfismen-algebra van een vectorruimte geassocieerd worden met een symmetrische of scheef-symmetrische bilineaire vorm en deze vorm is uniek bepaald op een veelvoud na.


De bedoeling van dit project is om deze correspondentie te bestuderen, in het bijzonder het gebruik ervan in de classificatie van involuties op endomorfismen-algebra's. Dit kan enerzijds een theoretische behandeling inhouden, en anderzijds een uitwerking van voorbeelden en oefeningen.

Categorietheorie (Algebra I/II)

Promotor: Tom De Medts

Begeleiding: Michiel Van Couwenberghe en Karsten Naert

Categorietheorie is een tak van de algebra die ontstaan is vanuit de nood om diverse fenomenen uit verschillende takken van de wiskunde gezamelijk te bestuderen. Mettertijd heeft men vastgesteld dat de taal ook zeer geschikt is om bepaalde problemen te formuleren en, soms, ook op te lossen.

De bedoeling van dit bachelorproject is in de eerste plaats dat de student zich het basisvocabularium van de categorietheorie eigen maakt aan de hand van aangereikte referenties. Volgende begrippen zouden zeker aan bod moeten komen: categorie, functor, natuurlijke transformatie, adjunctie, en eventueel (co)limiet. In tweede instantie is het de bedoeling om in cursussen van de bachelor wiskunde op zoek te gaan naar zoveel mogelijk situaties waar deze begrippen impliciet gebruikt worden. Tot slot willen we een klein onderzoekje doen en voor zoveel mogelijk categorieën de natuurlijke transformaties van de identieke functor naar zichzelf bepalen. Wat dit precies betekent en waarom we hierin geïnteresseerd zijn, zal in de loop van het project wel duidelijk worden.

Hamilton-Jacobitheorie (Theoretische Mechanica) 

Promotor: Frans Cantrijn

Aan de hand van een tekstboek en/of bepaalde artikels is het de bedoeling om een inleiding te geven op de theorie omtrent de Hamilton-Jacobivergelijking. Dit is een partiële differentiaalvergelijking die opgebouwd is, vertrekkende van een Hamiltoniaans systeem, en waarvan het bepalen van een zogenaamde complete integraal 'equivalent' is met het volledig integreren van het gegeven stelsel van Hamiltonvergelijkingen. De theorie zal geillustreerd worden aan de hand van enkele eenvoudige voorbeelden.

Hogere-orde Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse systemen (Theoretische Mechanica)

Promotor: Frans Cantrijn 

 

Vertrekkend van een algemene inleiding op hogere-orde Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse mechanica is het de bedoeling van dit project om aan de hand van een recent artikel, een Hamiltoniaanse analyse te maken van een klasse van Lagrangiaanse systemen van tweede orde, die op een lineaire manier van de versnellingen afhangen. 

Grote kardinaalgetallen

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project worden oneindige verzamelingen gebestudeerd die zo groot zijn dat men hun bestaan niet meer in de gewone wiskunde bewijzen. Het gaat erom de "small large cardinals" te kaderen en met elkaar te vergelijken. Daarvoor zou de theorie uit het boek van Jech uitgewerkt worden.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over verzamelingenleer verwacht. 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

 

Goodstijn reeksen voor de Ackermann functie (Wiskundige logica)

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project bestuderen we grote getallen en snel groeiende functies. De Ackermannfunctie is een voorbeeld van een berekenbare functie die zo snel groeit dat de berekening van functiewaarden voor kleine argumenten op een laptop al snel een stack overflow veroorzaakt. Goodsteinreeksen zijn reeksen die via exponentiële functies gedefinieerd kunne worden en zij groeien nog sneller dan de Ackermann functie..

In het project worden nieuwe Goodsteinreeksen bekeken die nog sneller groeien dan de klassieke Goodsteinreeksen.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over goede ordeningen verwacht. 

Referenties

[1] Goostein via Ackermann: Preprint (2015) van Tosi Arai, Stan Wainer, Andreas Weiermann.

[2] Cursus grondslagen van de wiskunde.

De Many models theorem  van Shelah

(Wiskundige logica)

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project bestuderen we een situatie waarin een theorie zoveel modellen heeft dan verzamelingstheoretisch mogelijk.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over modeltheorie verwacht. 

Referenties

[1] Model theory. Dave Marker. Springer

[2] Cursus grondslagen van de wiskunde.


Vakgroep WiskundeVakgroep Wiskunde
English
login