Thesisonderwerpen wiskunde bij de Vakgroep Wiskunde

Thesissen in de vakgroep Wiskunde

Wanneer men een masterscriptie wil maken in de Zuivere Wiskunde kan men uit een waaier van specialisatierichtingen kiezen. Verschillende onderzoekers en onderzoeksgroepen uit de vakgroep Wiskunde bieden de mogelijkheid om thesiswerk te verrichten dat aansluit bij hun specialisatiedomein en/of bij hun onderzoek.

Er is geen beperkende lijst van onderwerpen waaruit de studenten moeten kiezen. Bij wijze van voorbeeld vindt men op deze webpagina een aantal concrete onderwerpen. De studenten kunnen ook zelf een voorstel doen, over de richting, aard en karakter van het werk dat ze willen doen, dit wordt zelfs aangemoedigd.

We raden u aan rechtstreeks contact op te nemen met de potentiële promotoren. Zo krijgt u uit eerste hand een goed idee van de inhoud van de verschillende specialisaties en van de mogelijke onderwerpen. Dit kan men bijvoorbeeld doen in de loop van het tweede semester van de 1ste master. Op die manier kan men bijvoorbeeld al 1 of 2 mogelijke richtingen kiezen. Na de examens (rond de proclamatie) zullen de promotoren de onderwerpen meer gedetailleerd toelichten en duidelijk maken wat juist verwacht wordt van de studenten. Dit kan, afhankelijk van de interesse, individueel of in groep gebeuren. Men kan dan een voorlopige keuze maken van bijvoorbeeld 2 of 3 onderwerpen. Aan de hand van de opgegeven literatuur kan men zich beginnen voorbereiden op het eigenlijke thesiswerk en een definitieve keuze maken bij de start van het nieuwe academiejaar.

Lijst van potentiële promotoren:

J. De Beule, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
B. De Bruyn, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
T. De Medts, Algebra en groepentheorie.
A. Weiermann en medewerkers, Computeralgebra.
K. Thas, Combinatoriek, Incidentiemeetkunde, Groepentheorie en Wiskundige Fysica.
H. Vernaeve, J. Vindas en medewerkers, Analyse.
L. Storme en medewerkers, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
J. Demeyer, Algebraïsche Meetkunde en Getaltheorie.
H .Van Maldeghem en medewerkers, Incidentiemeetkunde, Grafentheorie en Algebraische Combinatoriek.
F. Cantrijn, T. Mestdag, Differentiaalmeetkunde en mechanica.

Thesisonderwerpen

Incidentiemeetkunde

Karakterisaties van projecties van kwadrieken in eindige projectieve ruimten 

Promotor: Bart De Bruyn

 Weze Q een niet-singuliere kwadriek van PG(n,q) en x een punt van PG(n,q) niet op Q gelegen en eveneens verschillend van de kern van Q indien q even is en Q een parabolische kwadriek is. Weze H een hypervlak van PG(n,q) die x niet bevat en weze X de projectie van Q op H vanuit het punt x. Elke rechte van H zal X snijden in ofwel 1, ofwel (q+1)/2, ofwel (q+2)/2, ofwel (q+3)/2 ofwel q+1 punten. (Dit geeft drie mogelijke intersecties als q even is, en vier als q oneven is.) Een aantal auteurs (De Feyter & De Clerck, Glynn, Hirschfeld & Thas, Sherman) hebben een bijna volledige classificatie bekomen van alle puntenverzamelingen in eindige projectieve ruimten die bovenvermeld intersectiepatroon vertonen met de rechten van de projectieve ruimten. De projecties van kwadrieken (zoals hierboven gedefinieerd) spelen in deze classificatie een dominante rol. Het is de bedoeling om deze classificatieresultaten de bestuderen en uit te werken.

Bart De Bruyn

Tits-Gebouwen en Polaire Ruimten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een "sferisch gebouw" is een verdere veralgemening van "Projectieve ruimte" en "Polaire ruimte". In feite zijn er nog slechts drie klassen sferische gebouwen die geen projectieve ruimten of polaire ruimten zijn, en dat zijn de sferische gebouwen van type E_n, n=6,7,8, die van type F_4, en de veralgemeende veelhoeken. De bedoeling van een thesis in dit onderwerp kan typisch zijn om de axiomatiek van één van deze klassen uit te werken en enkele eigenschappen daaruit te bewijzen, in dezelfde trant als gedaan wordt in de cursus "Polaire Ruimten". Een andere mogelijkheid is om de theorie van de polaire ruimten nog een beetje verder en dieper te bestuderen, met een onderwerp naar keuze. Mogelijkheden zijn: klassering, inbeddingen, automorfismen, trialiteiten en veralgemeende zeshoeken, Veronese inbeddingen van de niet-inbedbare polaire ruimten, enz. Tenslotte kunnen ook klassen van niet-sferische gebouwen onderzocht worden, bijvoorbeeld affiene gebouwen, of tweeling-gebouwen (als bijzonder geval de tweeling-bomen), enz. De student(e) geinteresseerd in deze basisstructuren van de interactie tussen groepentheorie en incidentiemeetkunde (waarvoor Jacques Tits, als Belg geboren, de Abel prijs verwierf in 2008) wordt aangemoedigd om eens langs te komen voor verdere uitleg om alzo de best passende keuze te kunnen maken. 

Hendrik Van Maldeghem

Veralgemeende zeshoeken

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een veralgemeende zeshoek is een incidentiemeetkunde van rang 2 waarvan de incidentiegraaf taille 12 heeft en diameter 6. Er bestaan representaties van deze structuren in projectieve ruimten en verscheidene karaktersieringen zijn gekend, meestal vor het eindig geval. De bedoeling van de thesis zou zijn om deze resultaten te bestuderen en te proberen ze zo algemeen mogelijk te bewijzen, bijvoorbeeld door de voorwaarde van eindigheid te laten vallen. Een goed begin zijn de stellingen over de representaties van de vlag-complexen van projectieve vlakken (die niet-dikke veralemeende zeshoeken zijn). 

Hendrik Van Maldeghem

Groepen van polynomiale groei

Promotor: Koen Thas

In een bekend artikel [GR] bewees Mikhael Gromov de volgende stelling

Stelling. Indien een eindig voortgebrachte groep een polynomiale groei heeft, bevat hij een nilpotente deelgroep van eindige index

Dit resultaat heeft diverse sterke gevolgen (onder andere voor topologische variëteiten).

Bij dit onderwerp is het de bedoeling het hoofdresultaat van [GR], en de tal van gevolgen,  in detail uit te werken.

[GR] M. Gromov. Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits), Publ. Math. I. H. E. S. 53 (1981), 53-78.

Koen Thas

Lokaal eindige veralgemeende vierhoeken

Promotor: Koen Thas

Een berucht open probleem in Incidentiemeetkunde gesteld door Jacques Tits is de vraag naar het wel dan niet bestaan van dikke veralgemeende vierhoeken met eindige veel punten op elke rechte, en oneindig veel rechten door elk punt. Weinig resultaten zijn gekend; er is enkele geweten dat een dikke veralgemeende vierhoek met ten hoogste 5 punten op een rechte eindig moet zijn.

In recente tijden is gebleken dat vooral Modeltheorie mogelijkheden biedt om dit probleem aan te vallen, cf. [CH].

Bedoeling is om de gekende resultaten uit te spitten, alsook de onderliggende Modeltheorie en Combinatoriek te bestuderen.

[CH] G. Cherlin. Locally finite generalized quadrangles with at most five points per line, Discrete Math. 291 (2005), 73-79.

Koen Thas

Deelstructuren in eindige projectieve ruimten en eindige klassieke polaire ruimten (Meetkunde)

Promotor: Leo Storme

Binnen eindige projectieve ruimten en eindige klassieke polaire ruimten worden vele verschillende deelstructuren bestudeerd. Dit omvat blokkerende verzamelingen, partiele spreads, en recent ook Cameron-Liebler rechtenverzamelingen, Erdos-Ko-Rado verzamelingen, en tight sets.

Binnen dit onderwerp worden enkele deelstructuren bestudeerd die recent veel aandacht gekregen hebben binnen de eindige projectieve ruimten en/of eindige klassieke polaire ruimten. 

Zo kan er een studie gemaakt worden van partiele k-spreads in eindige projectieve ruimten. Een partiele k-spread in PG(n,q) is een verzameling van paarsgewijs disjuncte k-dimensionale deelruimten in PG(n,q). Een partiele k-spread noemen we maximaal als zij niet bevat is in een grotere partiele k-spread.

Zo kan het recente resultaat van Dr. Maarten De Boeck besproken worden over de ondergrens op de kleinste maximale partiele k-spreads in PG(2k+1,q), alsook andere verwante resultaten over maximale partiele k-spreads in PG(n,q).

 Analoog wordt er op dit ogenblik intensief onderzoek verricht over Erdos-Ko-Rado verzamelingen en Cameron-Liebler verzamelingen in eindige projectieve ruimten. Hier worden er, naast meetkundige, ook  vele andere  technieken gebruikt, zoals matrixtechnieken. Bij een keuze voor de studie van deze deelstructuren kunnen dus verschillende technieken bestudeerd worden.

Leo Storme

Lineaire codes komende van meetkundige structuren (Codeertheorie en meetkunde)

Promotor: Leo Storme

Binnen de codeertheorie worden vele codes bestudeerd die in verband staan met meetkundige structuren. Zo worden in detail de lineaire p-aire codes gedefinieerd door de incidentiematrices van punten met k-ruimten van PG(n,q), q=p^h, p priem, bestudeerd. Analoog worden de duale codes van deze lineaire codes bestudeerd.

Verder zijn er vele verbanden tussen lineaire codes en specifieke deelverzamelingen punten in eindige projectieve ruimten. Dit verband gebeurt heel veel via de kolommen van een generator of pariteitscontrole matrix van deze lineaire codes. Via deze verbanden tussen lineaire codes en specifieke deelverzamelingen punten in eindige projectieve ruimten hebben vele problemen uit de codeertheorie een equivalent meetkundig probleem. Twee concrete voorbeelden zijn het verband tussen lineaire MDS codes en bogen, en tussen lineaire codes die de Griesmer grens bereiken en minihypers.

Op dit ogenblik is er een groot europees project over random network codes (http://www.network-coding.eu/). Dit is een nieuw type code waarin de codewoorden projectieve deelruimten uit een gegeven eindige projectieve ruimte zijn. Dit impliceert dat vele problemen over random network codes gelijk zijn aan meetkundige problemen. 

Deze masterproef heeft tot doel codes en verbanden met deelstructuren uit projectieve ruimten te bestuderen. Er kan gekozen worden om lineaire codes corresponderend met eindige projectieve ruimten te bestuderen, om een specifiek verband tussen een bepaald probleem uit de codeertheorie met een equivalent meetkundig probleem te bestuderen, of om random network codes te bestuderen.

Leo Storme

De Polynomiale methode in eindige meetkunde

Promotor: Maarten De Boeck

De polynomiale methode is een naam voor een verzameling algebraïsch getinte technieken om specifieke resultaten in eindige meetkunde te bewijzen. Een typisch voorbeeld van een meetkundig probleem bestudeerd met de polynomiale methode is het richtingenprobleem in affiene ruimten. We geven hiervan een korte beschrijving. Beschouw de affiene ruimte AG(n, q) en een verzameling U affiene punten. Een richting is een punt in het hypervlak
π op oneindig van AG(n, q). We zeggen dat p in π een door U bepaalde richting is als er minstens één affiene rechte door p minstens twee punten van U bevat. Uit het feit dat elke parallelklasse van AG(n, q) juist qn−1 rechten bevat, volgt onmiddellijk dat een verzameling U van affiene punten waarvoor |U| > qn−1, alle richtingen bepaalt. De natuurlijk vraag is wat de mogelijkheden zijn als |U| ≤ qn−1, m.a.w., hoeveel richtingen kunnen dergelijke puntenverzamelingen bepalen? Of nog, als een gegeven verzameling N van richtingen niet bepaald mag worden, is er dan een bovengrens op |U|? Dit probleem werd uitvoerig bestudeerd voor n = 2 en heeft fundamentele resultaten opgeleverd in de theorie van de blokkerende verzamelingen van PG(2, q), en de polynomiale methode heeft in deze studie een cruciale rol gespeeld, en kan als volgt omschreven worden. De q + 1 rechten door een punt a in U kunnen voorgesteld worden door fa(X, Y ) = 0, met fa(X, Y ) een lineair polynoom in twee veranderlijken. Het Rédei-polynoom R(X, Y ) wordt gedefinieerd als het product van alle lineare factoren fa(X, Y ), a in U. Subsitutie van een richting voor een welgekozen variabele levert een polynoom waar heel wat algebraïsche eigenschappen van afgeleid kunnen worden. Deze eigenschappen kunnen echter terugvertaald worden naar meetkundige eigenschappen, en aldus kan meetkundige informatie afgeleid worden over de verzameling U in functie van de gegeven verzameling N. Bovenstaande beschrijving is heel summier, maar is essentieel gelijkaardig voor alle mogelijke toepassingen van de polynomiale methode. Recent verscheen een overzichtsartikel van S. Ball over het gebruik van deze methode in Galois meetkunde, [1]. Dit artikel is heel toegankelijk als inleiding tot de polynomiale methode, en is voor beginnende en ervaren onderzoekers een zeer nuttige inleiding. In eerste instantie is het de bedoeling om een aantal referenties in dit artikel verder te bestuderen, zodat het geboden inzicht vergroot kan worden. Het artikel zelf suggereert een aantal verder te onderzoeken pistes, en de tweede doelstelling is dan ook om (enkele van) deze pistes te onderzoeken, en waar mogelijk, een aantal alternatieve bewijzen te formuleren van gekende resultaten. Tenslotte vermeldt het artikel ook een ruim aantal open problemen. Het is de keuze van de student om ofwel breder in te gaan op bestaande resultaten en hun mogelijke alternatieve bewijzen, om zo het inzicht in de methode te vergroten, of om, na verloop van tijd, in te gaan op één of meerdere vermelde of gerelateerde open problemen.

Referenties
[1] S. Ball, The polynomial method in Galois geometries, in Current research
topics in Galois geometry, Nova Sci. Publ., New York, 2011, ch. 5,
pp. 103–128.

Maarten De Boeck

De André/Bruck-Bose representatie en translatievlakken

Promotor: Maarten De Boeck

Bruck en Bose gaven begin jaren 1960 een meetkundige constructie van een eindig translatievlak van de orde qt, startend van een spread van een eindige projectieve ruimte over GF(q). Deze constructie werd eerder in een meer groep-theoretische context door André gegeven. Ook het Desarguesiaanse vlak PG(2,qt) kan zo bekomen worden, namelijk wanneer men start met een Desarguesiaanse spread in PG(2t-1,q).

Binnen dit onderwerp zijn verschillende mogelijkheden voor een masterproef, afhankelijk van de interesse van de student(e): een studie van de gekende translatievlakken, een studie van de André/Bruck-Bose representatie van deelrechten, deelvlakken of unitalen, een studie van de verbanden tussen normale, geometrische en Desarguesian spreads,…

Maarten De Boeck

Programmeren voor de eindige meetkunde

Promotor: Peter Vandendriessche

Goed gebruik van computers wordt steeds belangrijker in ons onderzoek, en algemene wiskundige softwarepakketten (Sage, GAP, ...) moeten door hun algemene toepasbaarheid noodgedwongen aan efficiëntie prijsgeven. Vaak resulteert dit erin dat we voor minder grote parameters structuren kunnen vinden en analyseren. En helaas doen bepaalde interessante fenomenen zich alleen maar voor bij grotere velden.

Om deze reden werkte ik de afgelopen jaren aan een softwarepakket dat een aantal belangrijke concepten voor het onderzoek in onze onderzoeksgroep (eindige velden, projectieve ruimtes, lineaire codes, vectorruimtes, eindige groepen, klassieke polaire ruimtes, courante meetkundige constructies...) modelleert in de programmeertaal Java. Dit softwarepakket heeft al aan de bron gestaan van verschillende publicaties in de eindige meetkunde.

De bedoeling van deze thesis zou zijn om dit pakket verder uit te breiden. Naargelang de interesse van de student kan dit gaan van bestaande code te analyseren/documenteren/testen/verbeteren tot het schrijven van volledig nieuwe functionaliteit. Interesse in het samenvloeien van programmeren en eindige meetkunde? Dan is dit allicht je ding.

Peter Vandendriessche

Logica en Analyse

Oplosbaarheid en hypo-ellipticiteit van lineaire partiële differentiaalvergelijkingen

Promotor: Hans Vernaeve

Hoewel partiële differentiaalvergelijkingen in de eerste plaats geassocieerd worden aan het modelleren van fenomenen in de werkelijkheid, willen we in deze thesis lineaire partiële differentiaalvergelijkingen vanuit een theoretisch oogpunt behandelen. Reeds voor lineaire vergelijkingen van tweede orde is er een duidelijk kwalitatief verschil tussen elliptische, parabolische en hyperbolische vergelijkingen. Elliptische en parabolische vergelijkingen P(D) u = f hebben de interessante eigenschap dat elke oplossing (zelfs elke veralgemeende oplossing) C is als f C is. Deze eigenschap wordt hypo-ellipticiteit genoemd. Voor operatoren met constante coefficienten kan deze eigenschap eenvoudig uit de coefficienten van de operator P(D) afgelezen worden. Andere karakteriseringen worden gegeven aan de hand van eigenschappen van een fundamentele oplossing of van een zgn. parametrix. Voor operatoren met veranderlijke (C)-coefficienten is de situatie minder eenvoudig en zijn geen elegante nodige en voldoende voorwaarden bekend.

Meer algemeen kan men zich afvragen op welke delen van haar domein een oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking C is als men de vorm van de operator P(D) kent en een beginwaarde van de oplossing. Deze vragen leiden uiteindelijk tot de theorie van propagatie van singulariteiten van oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen door L. Hörmander.

Hoewel lineaire vergelijkingen met constante coefficienten altijd een fundamentele oplossing hebben (stelling van Malgrange en Ehrenpreiss) is het verrassend dat er eenvoudige lineaire vergelijkingen met C-coefficienten bestaan zonder oplossingen. Ook voor deze vraag bestaan eenvoudige voorwaarden op de coëfficiënten waaruit afgelezen kan worden of de vergelijking (lokale) oplossingen heeft.

Hans Vernaeve

Infinitesimale Analyse en Topologie

Promotor: Hans Vernaeve

In de cursus Infinitesimale analyse behandelen we kort algemene topologie met infinitesimalen (d.m.v. een nietstandaard model). Het doel van deze thesis is om a.d.h.v. een aantal onderzoeksartikels de relatie tussen infinitesimale analyse enerzijds, en topologie en topologische vectorruimten anderzijds, verder te onderzoeken. Een aantal aspecten die aan bod kunnen komen zijn: welke onderzoeksresultaten in de topologie kan men eenvoudig verkrijgen d.m.v. infinitesimalen (eventueel te vergelijken met standaard-bewijzen)? Aan welke eigenschappen moet een binaire infinitesimaliteitsrelatie R op *X voldoen op dat ze overeenkomt met een topologie op X?... Voor een infinitesimale benadering van topologische vectorruimten kan het boek "Nonstandard methods in functional analysis" van S. Ng (dat vooral gaat over Banachruimten) als uitgangspunt dienen.

Hans Vernaeve

Asymptotische verdeling van veralgemeende priemgetallen en veralgemeende gehelen

Promotor: Jasson Vindas

De theorie van de veralgemeende priemgetallen stelt zich als doel de verzameling van de gewone priemgetallen te vervangen door een tamelijk willekeurige stijgende rij van positieve reële getallen (veralgemeende priemgetallen). Ze bestudeert de multiplicatieve groep die hierdoor voortgebracht wordt (veralgemeende gehelen) en het verband tussen asymptotische eigenschappen van de verdeling van de veralgemeende gehelen en priemgetallen. Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd in 1937 door Beurling, die in deze context abstracte versies vond van de priemgetallenstelling.

Het doel van de thesis is klassieke en recente resultaten in dit gebied te bestuderen en een dieper begrip te verkrijgen over een aantal nuttige technieken uit de analyse die hier gebruikt worden (o.a. uit de Fourier-analyse en complexe analyse).

Jasson Vindas

Analytische voorstellingen en randwaarden

Promotor: Jasson Vindas

Een idee dat in de analyse zeer nuttig gebleken is, is het bestuderen van reële objecten d.m.v. complexe objecten. Zo kan men eigenschappen van een functie van een reële veranderlijke beter begrijpen door over te gaan op het complexe vlak en haar te beschouwen als de sprong die twee analytische functies maken wanneer men de reële as doorkruist. Dit idee leidt tot het concept analytische voorstelling. Het eerste doel van de thesis is een aantal technieken te bestuderen om analytische voorstellingen te construeren. Het omgekeerde probleem is ook interessant: de randwaarden van een analytische functie geven ook waardevolle informatie over de functie zelf. Het tweede doel van de thesis is om randwaarden te bestuderen van analytische functies die behoren tot bepaalde ruimten van functies van reële veranderlijken.

Jasson Vindas

Faseovergangen

Promotor: Andreas Weiermann

Een mogelijke thesis gaat over actueel onderzoek omtrent fasenovergangen voor onafhankelijkheidsstellingen (zoals bijvoorbeeld de stelling  van Kruskal of van Paris en Harrington.

Dit onderwerp sluit direct aan bij de lezing over fasenovergangen en/of bewijstheorie. (Er zijn meerdere thesisprojecten over faseovergangen beschikbaar.)

Andreas Weiermann

Analytische combinatoriek van het oneindige

Promotor: Jasson Vindas en Andreas Weiermann

Een mogelijke thesis gaat over actueel onderzoek omtrent de sterke asymptotiek van telfuncties voor ordinaalgetallen. Daarvoor moet een Tauberstelling van Ingham worden uitgebreid.  Mogelijke toepassingen tot limietwetten voor ordinaalgetallen zullen worden onderzocht.

Andreas Weiermann
Veralgemeende Goodsteinreeksen

Een mogelijke thesis gaat over een veralgemening van het Paris-Kirby-onafhankelijkheidsresultaat voor de Goodsteinreeksen. 
Andreas Weiermann

Algebra

Computationele Groepentheorie

Promotor: Peter Vandendriessche

Het werken met groepen op een computer is een interessante wiskundige uitdaging. Het blijkt absoluut niet triviaal om, gegeven een verzameling generatoren voor een groep, eenvoudige berekeningen met die groep te doen zoals bepalen hoe groot die groep is, of bepalen of een gegeven element tot die groep behoort.

De Computationele Groepentheorie is een veld binnen de algebra dat zich bezig houdt met het modelleren van groepen en hun acties. De start van deze thesis zal zijn om in te lezen in de theorie die gebruikt wordt om eindige groepen voor te stellen op zodanige wijze dat een computer hier kan mee werken (Schreier-Sims ketens, baanalgoritmes, ...).

Naargelang de interesse van de student kan de thesis meer een theoretische inslag krijgen (bestaande algoritmes bestuderen, bevattelijk uitleggen, correctheid aantonen, optimalisaties bedenken voor bepaalde types groepen, ...) of een meer computationele wiskundige inslag (zelf algoritmes implementeren, bestaande code verbeteren, ...) of een mix van beide.

Goede kennis van groepentheorie zoals aangebracht in de cursus Algebra I is essentieel voor deze keuze, evenals een basiskennis van Algoritmen en Datastructuren.

Peter Vandendriessche

Transfer en fusion in eindige groepen

Promotor: Tom De Medts

Transfer en fusion zijn twee begrippen die in 1935 werden ingevoerd door Grün, en die voor het eerst succesvol werden toegepast in 1958 door Higman in zijn Focal Subgroup Theorem.

Transfer is in se niet meer dan een morfisme van een groep G naar de abelse groep H / [H,H] voor een zekere deelgroep H van G. Toch kan men met dit eenvoudig ogend begrip op verrassende wijze interessante resultaten aantonen, en in het bijzonder levert de transfer structurele informatie indien H een Sylow p-deelgroep is.

Fusion is een ander eenvoudig begrip: Wanneer klassen van toegevoegde elementen in een deelgroep H van een groep G bevat zijn in eenzelfde grotere klasse van toegevoegde elementen in G, dan zeggen we dat deze klassen gefused zijn in G. Als H < K < G, dan zeggen we dat K de G-fusion in H controleert als elke twee klassen van H die gefused zijn in G, in feite al gefused zijn in K.

Het begrijpen van de "controle over G-fusie" is essentieel om transfer (in het bijzonder voor Sylow deelgroepen) goed te begrijpen.

De theorie van fusion en transfer heeft tal van toepassingen. De bedoeling van de thesis is om met deze theorie vertrouwd te geraken, en vervolgens te grasduinen in de recente litteratuur.

Tom De Medts

De Tits-Kantor-Koecher constructie voor Jordan algebra's, structureerbare algebra's, en tripelsystemen

Promotor: Tom De Medts

De klassieke Tits-Kantor-Koecher constructie is een methode die een Lie algebra construeert uit een Jordan algebra (dit is een welbepaalde soort niet-associatieve algebra). Dit geeft ondermeer aanleiding tot constructies van exceptionele Lie algebra's; zo bekomt men bijvoorbeeld een Lie algebra van type E7 (van dimensie 133) door te vetrekken van een exceptionele 27-dimensionale Jordan algebra.

Deze constructie kan veralgemeend worden door te vertrekken van andere algebraische structuren dan Jordan algebra's. Zo kan men ook vertrekken van een zogenaamde structureerbare algebra (een veralgemening van Jordan algebra's, die ondermeer associatieve algebra's met involutie omvat), en een gelijkaardige Tits-Kantor-Koecher constructie uitvoeren.

Nog in deze context kan men vertrekken van verscheidene soorten tripelsystemen (o.a. Kantor tripelsystemen, Freudenthal tripelsystemen) of paren (Jordan paren, Kantor paren) en opnieuw dergelijke constructies uitvoeren.

De bedoeling van de thesis is om met deze constructies vertrouwd te geraken en hier een duidelijk overzicht van te geven. In het bijzonder is het de bedoeling om na te gaan welke exceptionele Lie algebra's men op deze wijze bekomt, en om duidelijke verbanden tussen deze verschillende algebraische structuren en tripelsystemen te leggen.

Tom De Medts

Differentiaalmeetkunde en mechanica

NB: ook studenten uit de afstudeerrichting Wiskundige Natuurkunde en Sterrenkunde kunnen deze onderwerpen kiezen.

Diracstructuren op differentieerbare variëteiten

Promotor: Frans Cantrijn

Een Diracstructuur op een differentieerbare variëteit M is een bijzondere deelbundel van de Whitney som (= ‘directe som’ over de basisvariëteit M) van de raakbundel TM en de co-raakbundel T*M. Diracstructuren vormen een gelijktijdige veralgemening van 2-vormen en (bijna-)Poissonstructuren en zijn de voorbije jaren een steeds grotere rol gaan spelen bij de studie van Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse systemen. De bedoeling van deze verhandeling is aan de hand van enkele artikels de basiseigenschappen van Diracstructuren en de relevantie ervan in de geometrische mechanica te bestuderen.

Mogelijke referenties:

T.J. Courant, Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (1990) 631—661.

H. Yoshimura, J.E. Marsden, Dirac structures in Lagrangian mechanics – Part I: Implicit Lagrangian systems, J. Geom. Phys. 57 (2006), 133--156.

Tom Mestdag

Finslermeetkunde

Promotor: Frans Cantrijn

Kort gezegd is een Finslervariëteit een differentieerbare variëteit die voorzien is van een speciale metriek, de zogenaamde Finslermetriek, waarvan de coëfficiënten functies zijn die gedefinieerd zijn op de raakbundel aan de variëteit. Meer bepaald wordt de Finslermetriek geïnduceerd door een functie op de raakbundel, de fundamentele functie genoemd, die aan zekere voorwaarden moet voldoen. De Finslermeetkunde vormt zo als het ware een uitbreiding van de Riemannmeetkunde.

De bedoeling is om in de eerste plaats de voornaamste concepten en eigenschappen van Finslermeetkunde te belichten (o.a. de notie van geodeten op een Finslervariëteit). Vervolgens zal een welbepaald type van Finslervariëteiten bestudeerd worden, de zogenaamde Randersvariëteiten. Als één van de basisreferenties zal gebruik gemaakt worden van het overzichtsartikel van M. Matsumoto, “Finsler geometry in the 20th-century” in: Handbook of Finsler Geometry (Kluwer Academic Press, 2003), pp. 557—727. 


Tom Mestdag

Eigen onderwerpen over Differentiaalmeetkunde of Geometrische Mechanica

Steeds bespreekbaar!

Tom Mestdag

Vakgroep WiskundeVakgroep Wiskunde
login