De arithmetische meetkunde is een gebied dat de laatste decennia ontstaan is uit een samensmelten van “getaltheorie en algebraïsche meetkunde”. (In de keuzevakken algebraïsche meetkunde en capita selecta van de getaltheorie worden basisideeën en resultaten uit deze gebieden toegelicht.) Het uitgangspunt voor thesiswerk kan een resultaat zijn uit de algebra, computeralgebra, algebraïsche meetkunde of de getaltheorie, een belangrijke publicatie of een probleemstelling die aansluit bij het werk van de onderzoeksgroep.
De onderwerpen die we hier opsommen zijn maar voorbeelden. Studenten die hierin geïnteresseerd zijn, kunnen altijd eens komen praten. Voorstellen en suggesties van de studenten zelf worden op prijs gesteld.
In de cursus algebraïsche meetkunde introduceerden we een aantal basisbegrippen en -technieken uit de algebraïsche meetkunde. De ruime diversiteit aan onderwerpen, hieronder geillustreerd aan de hand van een aantal voorbeelden, biedt enerzijds aan studenten, die de cursus algebraïsche meetkunde gevolgd hebben, de kans d.m.v. een licentiaatsthesis hun kennis van deze materie te verruimen, en laat anderzijds ook genoeg ruimte voor nieuwkomers in de wereld van de algebraïsche meetkunde.
1. Lineaire systemen op irreducibele krommen.
Dit is een ruim onderwerp, waar je veel richtingen mee uit kan. Zo kan men
lineaire systemen op krommen o.a. gebruiken om de stelling van Riemann-Roch
te bewijzen, of om voor bepaalde lineare systemen (b.v. op het projektieve
vlak) de dimensies te bepalen.
2. Studie van een aantal belangrijke variëteiten
Hier kan men bestuderen hoe enkele goedgekende varieteiten bekomen worden
en welke eigenschappen (b.v. dimensie, singulariteiten, ideaal) deze hebben.
Zo denken we b.v. aan rationale (normale) krommen, d-Veronese variëteit,
Segre variëteiten, Grassmannianen, secant variëteiten, etc.
3. Lineaire systemen op rationale oppervlakken
Dit is een zeer actueel onderwerp in de algebraïsche meetkunde. Zo wordt
er veel onderzoek verricht naar de eigenschappen van zulke lineaire systemen.
En dan denken we vooral aan het bepalen van de dimensie, het basispunt vrij
zijn en het zeer ampel zijn van deze lineaire systemen.
4. Desingularisatie
Desingularisatie vormt een belangrijk onderdeel van de algebraïsche meetkunde,
waar men op zoek gaat naar manieren om startend van een willekeurige variëteit
X, een gladde variëteit Y en een morfisme f van Y naar X te construëren. In
hun boek "Resolution of curve and surface singularities" (2004), geven K.
Kiyek en J. L Vicente een gedetailleerde bespreking van de gekende technieken
voor, zoals de titel aangeeft, het desingulariseren van krommen en oppervlakken.
Dit boek bevat dan ook voldoende stof voor meerdere scripties.
Het factorizeren van een natuurlijk getal N betekent N schrijven alsp1e1p2e2...pnen, en ook controleren dat elke pi priem is. Het probleem is zeer belangrijk voor de getaltheorie. Sinds 1925 is er bijvoorbeeld het Cunningham Project, dat tracht zoveel mogelijk getallen van de vorm bn ± 1 te factorizeren. Deze getallen duiken vaak op, denk bijvoorbeeld aan de multiplicatieve groep van een eindig veld. Tot 1960 was er eigenlijk maar één algoritme bekend, zogenaamde trial division: probeer gewoon N te delen door alle priemen tot de vierkantswortel van N. Het is duidelijk dat dit in de praktijk zeer traag wordt als N groter is dan 1015.
Sinds de uitvinding van het cryptosysteem RSA (Rivest-Shamir-Adleman) in 1977, is onderzoek naar factorizatiealgoritmes nog belangrijker geworden. RSA maakt namelijk gebruik van getallen N = p.q, waarbij p en q grote priemgetallen zijn.N is publiek, maar de factoren p en q moeten geheim blijven. Mocht er dus een efficiënt factorizatie-algoritme gevonden worden, is RSA niet meer veilig.
Voor factorizatie bestaan er heel wat verschillende algoritmes. Een aantal zijn al een tijdje bekend: trial division, het rho-algoritme (Pollard), de p - 1 methode (Pollard-Brent), en square form factorization (SQUFOF, Shanks). Deze hebben allemaal een looptijd die exponentieel is in het aantal cijfers van N. Maar een aantal modernere methodes zijn duidelijk sneller. De belangrijkste zijn de continued fractions method (CFRAC, Brillhart-Morrison), de elliptic curve method (ECM, Lenstra), de multi-polynomial quadratic sieve (MPQS, Pomerance) en de number field sieve (NFS, Pollard).
Het is de bedoeling dat een aantal van deze algoritmes geïmplementeerd worden in een computeralgebra-programma, en dat de efficiëntie ervan bestudeerd wordt. Hierbij is het belangrijk op te merken dat de verschillende algoritmes allemaal hun sterke en zwakke punten hebben. Sommigen zijn beter in het vinden van relatief kleine factoren van grote getallen, andere werken beter voor getallen van een speciale vorm. Ook het optimale bereik van de algoritmes varieert. NFS is de snelste methode voor grote getallen, maar wordt maar interessant vanaf pakweg 10100. Een factorizatie-programma in de praktijk zal dus altijd een aantal methodes moeten combineren.
Het spreekt voor zich dat er een interesse in computeralgebra en programmeren nodig is voor deze thesis. De recentere methodes zijn gebaseerd op verschillende technieken uit de getaltheorie, maar de voorkennis uit de algebra-vakken van de kandidaturen is voldoende om aan dit onderwerp te werken.
In 2003 verscheen het boek Cohomological Invariants in Galois Cohomology (Skip Garibaldi, Alexander Merkurjev, Jean-Pierre Serre). Het boek bestaat uit twee delen.
Het eerste deel: Cohomological invariants, Witt invariants, and trace forms vormt de nota's van verschillende cursussen van Serre in Harvard en in het Collège de France. De eerste 5 hoofdstukken geven de basis van de theorie. De hoofdstukken 6 t/m 9 bevatten toepassingen van de theorie. Een belangrijke deel van de toepassingen heeft te maken met de klassificatie van algebraïsche groepen (in het bijzonder algebraïsche groepen die verband houden met bilineaire vormen) over niet noodzakelijk algebraïsch gesloten velden.
Zoals steeds met nota's van Serre's cursussen is het volledig uitwerken ervan een mooi onderwerp voor een eindwerk. Elk van de hoofdstukken 6 t/m 9 bevat dan ook voldoende materiaal voor een onderwerp van een scriptie.
In een brief aan Skip Garibaldi geeft Serre een overzicht van wat hij in de cursussen gedaan heeft en welke problemen de aanleiding vormden voor zijn werk in verband met Galoiscohomologie. In een scriptie kan men van een hoofdstuk (of zelfs een deel van een hoofdstuk) vertrekken, dat uitwerken en ook de verbanden die Serre vermeld duidelijk maken.