Fermat eindelijk overwonnen

Andrew Wiles lost drie eeuwen oud wiskundig vraagstuk op

Dit artikel werd overgenomen uit de krant DE STANDAARD van 1 april 1995.

BRUSSEL - De laatste stelling van Fermat heeft na meer dan drie eeuwen eindelijk een bewijs. Twee jaar geleden zag het er al eens naar uit dat het bekendste onopgeloste vraagstuk uit de wiskunde overwonnen was, maar het "bewijs" dat de Britse wiskundige Andrew Wiles toen voorstelde, bleek achteraf een fout te bevatten. Nu is Wiles terug voor een tweede poging, en zijn nieuwe bewijs ziet er onberispelijk uit, vinden kollega-wiskundigen.

Experts vonden Wiles' eerste bewijs aanvankelijk ook veelbelovend, maar enkele maanden later, toen ze het grondig uitgevlooid hadden, kwam er een hiaat in de redenering aan het licht. Inmiddels hebben de wiskundigen enkele maanden de tijd gehad om het tweede, verbeterde, bewijs onder de loep te nemen. Jan Van Geel en Gunther Cornelissen van de universiteit van Gent zijn unaniem: "We zijn voor meer dan 99 procent zeker: de stelling is bewezen." "Het zou me niet verwonderen als de stelling in de toekomst de stelling van Fermat-Wiles genoemd wordt" vindt Van Geel.

In tegenstelling tot het bewijs, dat gebruik maakt van zeer ingewikkelde wiskundige ideeën, is de stelling zelf gemakkelijk te begrijpen. Uit onze schooltijd kennen we allemaal de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. in formulevorm: a²+ b² = c². Allerlei trio's van getallen a, b en c voldoen aan deze formule, bijvoorbeeld 3, 4 en 5. Reken maar na: 3² + 4² = 5² . Dit trio is interessant omdat 3, 4 en 5 alle drie gehele getallen zijn. Trio's met niet gehele getallen (getallen met een deel na de komma) zijn gemakkelijk te vinden, bijvoorbeeld 1, 2 en de vierkantswortel van 5 (2,2360 ... ) - ook met nullen gaat het vlot: 17² + 0² = 17². Maar het is veel leuker om oplossingen te zoeken zonder nullen, met alleen maar gehele getallen.

In de marge

Dat zou je ook kunnen proberen met derde machten in plaats van met kwadraten: zoek gehele getallen a, b en c die voldoen aan a³ + b³ = c³. Of met vierde machten, of in het algemeen met n-de machten: aⁿ + bⁿ = cⁿ. Je kan het proberen, maar het zal je niet lukken, beweerde Pierre de Fermat in de jaren dertig van de zeventiende eeuw. Je kan geen positieve gehele getallen a, b en c vinden, zo dat aⁿ + bⁿ = cⁿ, als n groter is dan 2. Fermat, een Frans jurist en wiskundige, schreef die bewering in de marge van een boek van de Griekse wiskundige Diophantus. En hij voegde eraan toe: "Ik heb een werkelijk prachtig bewijs gevonden van deze stelling, maar deze marge is te smal om het op te schrijven." Fermats kantlijnaantekeningen werden na zijn dood in 1665 ontdekt, maar zijn "prachtige bewijs" was nergens te vinden. Het werd al gauw een onweerstaanbare uitdaging voor wiskundigen. Vele grote wiskundigen, en ontelbare would-be grote wiskundigen, beten er hun tanden op stuk. Het vermoeden van Fermat zag er zeer aannemelijk uit, zoals iedereen zal beamen die een poosje vruchteloos naar getallen heeft gezocht die aan de formule voldoen. Maar niemand kon het bewijzen, al lieten wiskundigen er hun hele arsenaal bewijsmetodes op los, Fermats "Laatste stelling" - bedoeld is: het laatste nog onopgeloste van de vraagstukken die hij naliet - werd snel legendarisch. De onderzoekers boekten veel in zekere zin vooruitgang: ze toonden aan dat de stelling juist is voor welbepaalde waarden van de exponent n. Fermat zelf bewees de stelling al voor n = 4. Leonhard Euler vond een bewijs voor n = 3. Adrien-Marie Legendre en Peter Gustav Lejeune Dirichlet toonden in 1825 aan dat de stelling opgaat voor n = 5 en Henri-Laon Lebesgue bedwong de 7. Ernst Kummer sloeg een grote slag: de stelling bleek zeker juist voor alle exponenten kleiner dan honderd, uitgezonderd misschien voor 37, 59 en 67. Andere wiskundigen veroverden het gebied tot aan 150.000 en later tot vier miljoen. Het bleef daarmee natuurlijk heel goed mogelijk dat er ergens een triootje getallen bestond waarvoor bijvoorbeeld a a^5000000 + b^5000000 = c^5000000. Als er één zo'n voorbeeld gevonden werd, was aangetoond dat Fermat ongelijk had. Maar uitgebreide zoektochten, ook met krachtige computers, leverden niets op. Het leek er in elk geval sterk op dat Fermat gelijk had.

Geleidelijk begon er een volledig bewijs in zicht te komen. Wiskundigen legden steeds meer verbanden tussen de getalteorie - waarin Fermats stelling thuishoort - en andere takken van de wiskunde en daaruit kwamen nieuwe inzichten voort. In 1986 bewees Kenneth Ribet dat het vermoeden van Fermat volgde uit de "Shimura-Taniyama-Weil konjektuur", een onbewezen stelling over zogeheten elliptische krommen. Dat trok de aandacht van Andrew Wiles, een wiskundige aan de universiteit van Princeton die als tiener al geprobeerd had Fermats stelling te bewijzen. Wiles zette zich aan het werk om de Shimura-Taniyama-Weil konjektuur te bewijzen, waarmee dan meteen ook Fermats laatste stelling bewezen zou zijn. Zeven jaar besteedde hij al zijn tijd eraan.

In juni 1993 prezenteerde Wiles het resultaat van zijn inspanningen, op een kongres aan de universiteit van Cambridge. Zijn lezing had de onschuldig klinkende titel Modular Forms, elliptic curves and galois representations, maar ingewijden vermoedden dat het over Fermat zou gaan.

Toen aan het licht kwam dat zijn bewijs niet klopte, ging Wiles meteen aan de slag om een verbeterde versie te zoeken. Hij kreeg hulp van Richard Taylor van de universiteit van Cambridge, om het hiaat in zijn bewijs op te vullen. Ze hadden blijkbaar sukses, want experts over heel de wereld zijn voorzichtig entoesiast over hun werk.

Wiles heeft de Shimura-Taniyama-Weil konjektuur gedeeltelijk bewezen, en de stelling van Fermat volgt uit het bewezen stuk, voor alle waarden van de exponent n vanaf vijf. Aangezien de stelling al lang bewezen was voor drie en vier, hebben we nu een volledig bewijs. De wiskundigen zijn overigens vooral blij omdat de Shimura-Taniyama-Weil konjektuur nu bijna bewezen is, stelt getalteoreticus Van Geel. Die is van fundamenteel belang voor de getalteorie, al heeft ze niet dezelfde faam als de stelling van Fermat.

En Fermats "prachtige bewijs"? Wiles gelooft er niet in, en de meeste andere specialisten evenmin. "Kompleet onmogelijk" vindt Gunther Cornelissen. De wiskundige technieken die in de zeventiende eeuw voorhanden waren, kunnen nooit volstaan hebben voor een bewijs. Fermat moet zich dus vergist hebben toen hij schreef dat hij zijn vermoeden kon bewijzen. Maar hij heeft de wiskundigen wel drie eeuwen plezier bezorgd.

Steven STROEYKENS