Voorbeeld-onderwerpen voor een Master Thesis


(Enkel voor studenten wiskunde aan de Universiteit Gent.)

Hieronder volgen enkele voorbeelden van onderwerpen in de context van het keuzevak Infinitesimale Analyse worden hieronder gegeven als aanvulling op de onderwerpen op de pagina van de vakgroep. Doe gerust ook zelf een voorstel voor een onderwerp naargelang uw eigen interesse.

Infinitesimale differentiaalmeetkunde

De moderne differentiaalmeetkunde maakt gebruik van noties die nog verwijzen naar een verleden waarin infinitesimalen niet geschuwd werden (denk aan "infinitesimale generatoren", ...). De bedoeling van de thesis is na te gaan dat deze begrippen wel degelijk op een intuitieve manier kunnen gedefinieerd worden binnen het framework van de infinitesimale analyse. Uitgangspunt is de tekst

M.G. Katz, V. Kanovei, T. Nowik, True infinitesimal differential geometry

te vinden op de homepagina van M.G. Katz.

Infinitesimale asymptotische analyse

In de asymptotische analyse is het de bedoeling om functies afhankelijk van een (natuurlijke of reele) parameter in de limiet naar nul of naar oneindig te benaderen door meer elementaire functies. De formule van Stirling, die een benadering geeft voor n! is hier een eerste voorbeeld van. Dikwijls betreft het functies die d.m.v. een integraal gedefinieerd zijn. Het is bekend dat via Infinitesimale Analyse op een elegante manier asymptotische analyse ontwikkeld kan worden, bijv. in het boek

D.S. Jones, Introduction to asymptotics: a treatment using nonstandard analysis (World scientific, 1997)

Het doel van de thesis zou zijn om de infinitesimale stellingen in dit boek te vergelijken met een parallelle theorie die volledig standaard is.

Infinitesimale analyse en distributie-theorie

Zoals kort behandeld in de cursus Infinitesimale Analyse is het een aantrekkelijk idee om een object zoals een Dirac-delta-"functie", die in de klassieke analyse gefundeerd is a.d.h.v. distributie-theorie, in de infinitesimale analyse voor te stellen d.m.v. een oneindig afleidbare afbeelding *R -> *R. Men kan inderdaad een elegante theorie ontwikkelen waarin een distributie in zekere zin het "standaard-deel" is van zulke niet-standaard afbeelding.

Het doel van de thesis zou zijn om uitgaand van de bestaande literatuur over deze infinitesimale aanpak bekende stellingen in de distributie-theorie op infinitesimale wijze af te leiden.

Infinitesimale analyse en perturbatietheorie

Een van de toepassingsgebieden van de infinitesimale analyse waar stellingen voor het eerst bewezen werden via infinitesimalen is de perturbatietheorie, die de vraag behandeld wat er gebeurt met een differentiaalvergelijking bij een "zeer kleine" verstoring van een parameter in de vergelijking. Een Franse school van wiskundigen (Benoit, Callot, Diener e.a.) ontdekte via infinitesimale analyse een aantal tot dan toe onbekende overgangsfenomenen in de perturbatietheorie, bekend onder de naam canards (genoemd naar de figuren die gebruikt worden om deze fenomenen te begrijpen, die, mits enige verbeelding de vorm van een eend hebben).

Het doel van de thesis zou zijn om deze resultaten te begrijpen. Hiertoe is een studie van elementaire perturbatietheorie nodig, en ook van Internal Set Theory (I.S.T.), een variant van de infinitesimale analyse waarin de Franse school haar resultaten publiceert.

Invariante deelruimten van lineaire operatoren

Een van de eerste open problemen in de klassieke analyse die d.m.v. infinitesimale methoden opgelost werden, is een partieel antwoord op de (in het algemeen geval nog steeds open!) vraag in de theorie van de Hilbert-ruimten of een continue lineaire operator u op een Hilbert-ruimte H steeds een invariante deelruimte X heeft (d.w.z., waarvoor u(X) een deelverzameling is van X). Robinson en Bernstein bewezen in 1966 dat het antwoord ja is onder een bijkomende voorwaarde op u (nl. dat een veelterm p bestaat waarvoor p(u) compact is).

De gebruikte bewijstechniek is zeer aantrekkelijk: beschouw H als een deelruimte van een *Hilbert-ruimte G van hypereindige dimensie en gebruik in G stellingen uit de eindig-dimensionale lineaire algebra (via overdracht ook geldig in G).

Het doel van de thesis zou zijn om deze techniek van hypereindige benadering van Hilbert-ruimten te bestuderen a.d.h.v. een infinitesimaal bewijs van de spectraalstelling voor compacte zelf-toegevoegde operatoren in een Hilbert-ruimte (zoals bijv. geschetst in [S. Albeverio e.a., Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, paragraaf 2.3, Academic Press 1986]) en eventueel ook a.d.h.v. het bewijs van Robinson en Bernstein zelf.

Infinitesimale analyse en additieve getaltheorie

In de additieve getaltheorie worden eigenschappen over deelverzamelingen A,B van de natuurlijke getallen in verband gebracht met eigenschappen van A+B = {n + m: n elt. van A, m elt. van B}. Via eigenschappen van *N kunnen soms problemen in deze theorie opgelost worden, zoals voor het eerst in

R. Jin, Sumset phenomenon, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002)

d.m.v. niet-standaard maat-theorie (Loeb-maat) op een beginsegment van *N. Het doel van de thesis zou zijn deze resultaten, en eventueel ook uitbreidingen ervan, zoals geschetst in

I. van den Bergh, V. Neves, The strength of nonstandard analysis, Hoofdstuk 8 (Springer 2007)

te begrijpen.

Infinitesimale analyse en kansrekening

De klassieke theorie van kansrekening is gebaseerd op maattheorie. Meer gevorderde concepten zoals stochastische processen bouwen voort op dit formalisme, waardoor de theorie een vrij "zware" machinerie nodig heeft alvorens men haar kan beginnen toe te passen. Zoals op vele plaatsen in de analyse geeft de infinitesimale benadering een eenvoudige en intuitieve manier om deze theorie te funderen. Uitgansgpunt zou het boek

E. Nelson, Radically elementary probability theory (Princeton University Press, 1987)

zijn. Uit de inleiding:

I am sure that many other probabilists teaching a beginning graduate course have also had the feeling that these measure-theoretic foundations serve more to salve our mathematical consciences than to provide an incisive tool for the scientist who wishes to apply probability theory. This work is an attempt to lay new foundations for probability theory, using a tiny bit of nonstandard analysis.


Terug naar mijn Startpagina.