Algebraïsche structuren in de knoop

Promotor: Arne Van Antwerpen

Vaak stellen we knopen voor aan de hand van een diagram. Hoe kunnen we echter weten of de knoop die we tekenen daadwerkelijk een knoop is en niet de onknoop? Hoe weten we of twee knopen dezelfde zijn? Algebraïsche structuren bieden de oplossing!

In dit werk bekijk je enkele algebraïsche structuren die invarianten van knopen geven, bv. racks en quandles en geassocieerde polynomen, zoals de Jones polynoom. Afhankelijk van je interesse kan er verder ingegaan worden op quandles en racks, die dichter bij groepen aanleunen, of de geassocieerde polynomen, welke afkomstig zijn van diagram algebra's.

Triangle groups and their generalizations

Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Inga Valentiner-Branth

A triangle group is a group that can be realized geometrically by sequences of reflections across the sides of a triangle. The triangle can be an ordinary Euclidean triangle, a triangle on the sphere, or a hyperbolic triangle. Each triangle group is the symmetry group of a tiling of the Euclidean plane, the sphere, or the hyperbolic plane.

On the other hand, a triangle group can be defined as a group with three generators that satisfy certain relations. The Wikipedia page gives a good overview [1].

The main part of the project would be to understand triangle groups and analyse their properties (finiteness, subgroups, relation to other groups…). Depending on the students preferences, this can be done more from the geometric point of view by looking at the tilings of the three different spaces, or more algebraically, by working with the presentation of the group.

A possible next step would be to look at generalized triangle groups, which are recently constructed groups that lead to new examples of groups with interesting properties, see e.g. [2],[3].

 References

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_group

2. https://arxiv.org/pdf/1702.08200

3. https://arxiv.org/pdf/2011.09276

Sfeerstapelingen

Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Louis Olyslager

In dit project bekijken we het sfeerstapel probleem [1]. Het probleem vindt zijn oorsprong in drie dimensies, waar de vraag is: hoe kan men bollen van gelijke diameter zo compact mogelijk stapelen? In 3 dimensies wordt het antwoord gegeven door het befaamde Kepler vermoeden, dat intussen is opgelost. De veralgemeningen naar hogere dimensies zijn enkel opgelost in 4, 8 en 24 dimensies. Voor 24 dimensies is de optimale stapeling gelinkt aan het zogenaamde Leech rooster. (Een rooster is een discrete additive deelgroep van (Rⁿ, +); je kan dit zien als een puntenrooster.)

Dit project kan verschillende kanten uitgaan naargelang de interesse van de student. Enkele mogelijke suggesties zijn:
1) Sfeerstapelingen gelinkt aan roosters [2].
2) Het bewijs van de optimale stapeling in 8 of 24 dimensies [3].
3) Sfeerstapelingen in hyperbolische ruimten.

Referenties

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
[2] https://lib.ugent.be/en/catalog/rug01:000148148
[3] https://arxiv.org/abs/1603.06518

Algebraic, geometric, and analytic properties of p -adic numbers

Promoter: Lam Pham

The field of rational numbers naturally gives rise to real numbers. In this project, we aim to show that  p -adic numbers are "equally" natural and study their construction and rich properties. We will study them from various viewpoints: algebraic, analytic, and geometric (ultrametric spaces, local fields, completed metrics). If time permits, we might be able to look at groups of matrices such as SL( n ) or GL( n ) over p -adic numbers and related properties and related structures (trees, subgroup structure, etc.).

Scheve braces van priemmacht-orde

Promotor: Arne Van Antwerpen

Scheve braces (ofwel skew braces) zijn algebraïsche structuren die wat weg hebben van zowel een ring als een groep. Concreet zijn het twee groepen (B,+) en (B,∘) op dezelfde verzameling B die voldoen aan de gelijkheid

a ∘ (b+c) = (a ∘ b) - a + (a ∘ c).

Deze laatste doet denken aan een scheve linker distributiviteit. In het bijzonder zorgt deze ervoor dat de neutrale elementen van beide groepen samenvallen. Recent zijn de scheve braces van priemmacht-orde pⁿ geclassificeerd tot n=4. In dit project gaan we dieper in op de structuur van deze braces van priemmacht-orde. Afhankelijk van de interesse van de student kan er gefocust worden op het uitpluizen van de huidige literatuur, op de gelijkenissen tussen groepen en deze structuren of op meer computationele aspecten aan de hand van GAP.

Categorieën en adjuncties

Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Michiel Smet

In de categorietheorie bestudeert men categorieën van wiskundige objecten door te kijken naar de morfismen tussen objecten. Eén van de zaken die hierbij gebruikt worden, zijn adjuncties. Een groot aantal algebraïsche noties, zoals bijvoorbeeld vrije groepen en modulen, quotiëntenringen, tensorproducten en Galoisordeningen, kan men linken aan adjuncties.

Maximale bogen in projectieve vlakken

Promotor: Bart De Bruyn

Een verzameling punten in een projectief vlak van orde q wordt een maximale boog van graad d genoemd indien elke rechte de maximale boog snijdt in ofwel 0 ofwel d punten. Als d=2, dan wordt zo'n maximale boog ook een hyperovaal genoemd. De bedoeling van het project is om bepaalde aspecten van maximale bogen te bestuderen. Meer bepaald wordt hier gedacht aan constructies, niet-bestaan resultaten en bepaling van hun stabilizatoren (in de projectieve groep). Ook kunnen meetkundige constructies die gebruik maken van maximale bogen in het project nader bekeken worden.

Puntenverzamelingen in projectieve ruimten met weinig intersectiegetallen

Promotor: Bart De Bruyn

In dit project is het de bedoeling om puntenverzamelingen in projectieve ruimten te bestuderen waarvan de mogelijke intersectiegroottes met hypervlakken beperkt zijn tot 2 of 3 waarden. Meer bepaald wordt hier gedacht aan constructies en klassificatierresultaten. In geval er twee mogelijke intersectiegroottes voorkomen, zijn deze puntenverzamelingen gerelateerd aan zogenaamde twee-gewichts-codes en sterk reguliere grafen.

Intrigerende toppenverzamelingen in grafen

Promotor: Bart De Bruyn

Zij G een samenhangende k-reguliere graaf. Een toppenverzameling X van G wordt een intriguing set genoemd indien er constanten h1 en h2 bestaan zodat elke top van X adjacent is met h1 toppen van X en elke top buiten X adjacent is met h2 toppen in X. Elke intriguing set is geassocieerd met een eigenwaarde van de graaf, en bijgevolg bestaan er s+1 types intriguing sets, waarbij s+1 het totale aantal eigenwaarden is. De bedoeling van het project is om de theorie van dergelijke verzamelingen te bespreken, om op zoek te gaan naar dergelijke toppenverzamelingen in een aantal families van grafen, om computervoorbeelden of -classificaties in kleine reguliere grafen te bekomen, en te kijken of bepaalde configuraties van verzamelingen als intriguing set kunnen voorkomen.

Polariteiten van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit?  Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn).

Interessante deelstructuren van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden.

Lijn-spreads in projectieve ruimten over een scheeflichaam

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een lijn-spread van een projectieve ruimte is een partitie van de puntenverzameling in rechten. Een compositie-lijn-spread is een lijn-spread die in elke deelruimte opgespannen door een paar spread-rechten een spread induceert. In het commutatieve geval zijn compositie-lijn-spreads van projectieve ruimten van dimensie strikt groter dan 3 heel goed gekend en is een klassering voorhanden. Voor projectieve ruimten gedefinieerd over (niet-commutatieve) scheeflichamen is de situatie minder goed gekend. Bijvoorbeeld weet men niet of de spread geïnduceerd in een 3-ruimte opgespannen door twee spread-reachten een duale spread is of niet. 

De bedoeling van het bachelorproject is om de situatie in het niet-commutatieve geval (grondig) te onderzoeken. Er zijn bepaalde technieken voorhanden om uit te proberen. 

Dit is een onderzoeksproject dat nieuwe en originele resultaten beoogt en een niet-triviale inbreng van de student(e) vereist. Het project verbindt de vakken Lineaire algebra en meetkunde II, Algebra I en Projectieve meetkunde. 

Onderwijskundig project

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

In dit project, dat bedoeld is voor studenten die minor onderwijs volgen, heb je tamelijk veel vrijheid. De bedoeling is een stuk universitaire wiskunde in de gebieden algebra-meetkunde-combinatoriek om te kneden tot een origineel onderzoeksproject voor het secundair onderwijs, met inbegrip van eventueel zelf didactisch materiaal ontwerpen/maken/in elkaar knutselen, handleiding/cursus schrijven, eventueel met leerpad(en) werken, met oefeningen van alsmaar hoger niveau het project opbouwen, of andere didactische werkvormen combineren. Het eigenlijke onderwerp kan in overleg met de promotor gekozen worden. Op de mondelinge presentatie kan een en ander uitgeprobeerd worden, of eventueel kan het in de praktijk uitgetest worden in een school naar keuze, indien tijdig klaar. 

Dit project kan ook door een duo uitgevoerd worden. 

ADE-klassering van veralgemeende vierhoeken 

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Begeleider: Daan Rijpert 

Een wortelsysteem is een eindige verzameling vectoren, genaamd "wortels", in de Euclidische ruimte die voldoen aan een aantal eigenschappen. Zo'n systeem kan gecodeerd worden door middel van een samenhangende graaf (of unies ervan) waarvan de toppen bepaalde wortels van het systeem zijn. Deze grafen zijn volledig geklasseerd [1] en vallen uiteen in multigrafen en enkelvoudige grafen van zogenaamd "simply laced" type. Er zijn juist vijf types: A_n, D_n, E₆, E­₇ en E₈, elk geïndexeerd door het aantal toppen in de bijbehorende graaf. 

Een ADE-klassering is een klassering van een verzameling objecten die correspondeert met de klassering van grafen van simply laced type afkomstig van een wortelsysteem. Voorbeelden van ADE-klasseringen zijn niet alleen in de wiskunde te vinden, maar ook in de fysica en zelfs in de biologie. Het doel van dit project is om een specifiek voorbeeld van een ADE-klassering in detail te bestuderen, namelijk dat van veralgemeende vierhoeken. Dit zijn incidentiestructuren die onder andere gekenmerkt worden door hun gebrek aan driehoeken; in de afgelopen tientallen jaren zijn ze uitvoerig bestudeerd en geklasseerd. [2]

De student(e) begint het project met een uitgebreide studie van wortelsystemen en veralgemeende vierhoeken om uiteindelijk te beschrijven hoe de klassering van bepaalde veralgemeende vierhoeken zich vertaalt tot een ADE-klassering. Theorie van de vakken Discrete Wiskunde II, Lineaire Algebra en Meetkunde I/II, en Projectieve Meetkunde komt hierbij veelvuldig aan te pas. Naargelang de interesses van de student(e) is er ook de flexibiliteit om bepaalde aspecten van het project te benaderen vanuit een computationeel oogpunt met behulp van SageMath of GAP. 

Referenties 

[1] Erdmann, K., & Wildon, M. J. (2006). Introduction to Lie Algebras. Springer Science & Business Media. 

[2] Payne, S. E., & Thas, J. A. (2009). Finite Generalized Quadrangles. European Mathematical Society. 

Het Priemmacht-Vermoeden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Het priemmacht-vermoeden (PMV) is een van de meest tot de verbeelding sprekende vermoedens in de Projectieve Meetkunde; het zegt dat de orde van een eindig projectief vlak noodzakelijk een priemmacht is. 

Ondanks de vele verwoede pogingen in een periode van vele tientallen jaren, staat het vermoeden nog steeds onaangetast overeind. 

In dit project stellen we voor om een studie uit te voeren van de gekende resultaten, en zoeken we naar extra onderstelde eigenschappen — zoals bepaalde lokale en globale groepacties op het projectieve vlak — die leiden tot een positief antwoord van het vermoeden. 

Er is veel ruimte voor eigen werk. In het bijzonder denken we ook aan de volgende vraag:

“Wat zou een goed oneindig analogon zijn van het PMV ?”

Singer Meetkunden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Singer meetkunden zijn punt-rechte meetkunden waarvoor een automorfismengroep (de “Singer groep”) bestaat die scherp transitief werkt op de punten (of de rechten).

Eindige projectieve ruimten over velden zijn Singer meetkunden, maar we zagen ze ook al in de context van bijvoorbeeld affiene translatievlakken.  Ook enkele kleine voorbeelden van veralgemeende vierhoeken zijn gekend die Singer meetkunden zijn.

De literatuur over de theorie van Singer meetkunden is erg uitgebreid, dankzij onder andere de rol die zulke meetkunden spelen in een aantal bekende open problemen (zoals de klassering van vlag-transitieve projectieve vlakken).

In dit project onderzoeken we twee vragen:

1.  Welke meetkunden zijn Singer meetkunden ?
2.  Wanneer is een gegeven groep een Singer groep voor een Singer meetkunde ?

Absolute geometry: a gentle introduction