Thesisonderwerpen wiskunde bij de Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde

Thesissen in de vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde

Wanneer men een masterscriptie wil maken in de Zuivere Wiskunde kan men uit een waaier van specialisatierichtingen kiezen. Verschillende onderzoekers en onderzoeksgroepen uit de vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde bieden de mogelijkheid om thesiswerk te verrichten dat aansluit bij hun specialisatiedomein en/of bij hun onderzoek.

Er is geen beperkende lijst van onderwerpen waaruit de studenten moeten kiezen. Bij wijze van voorbeeld vindt men op deze webpagina een aantal concrete onderwerpen. De studenten kunnen ook zelf een voorstel doen, over de richting, aard en karakter van het werk dat ze willen doen, dit wordt zelfs aangemoedigd.

We raden u aan rechtstreeks contact op te nemen met de potentiële promotoren. Zo krijgt u uit eerste hand een goed idee van de inhoud van de verschillende specialisaties en van de mogelijke onderwerpen. Dit kan men bijvoorbeeld doen in de loop van het tweede semester van de 1ste master. Op die manier kan men bijvoorbeeld al 1 of 2 mogelijke richtingen kiezen. Na de examens (rond de proclamatie) zullen de promotoren de onderwerpen meer gedetailleerd toelichten en duidelijk maken wat juist verwacht wordt van de studenten. Dit kan, afhankelijk van de interesse, individueel of in groep gebeuren. Men kan dan een voorlopige keuze maken van bijvoorbeeld 2 of 3 onderwerpen. Aan de hand van de opgegeven literatuur kan men zich beginnen voorbereiden op het eigenlijke thesiswerk en een definitieve keuze maken bij de start van het nieuwe academiejaar.

Lijst van potentiële promotoren:

Bart De Bruyn, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
Tom De Medts, Algebra en groepentheorie.
Fatemeh Mohammadi, Combinatorische en toegepaste algebraïsche meetkunde, algebraïsche statistiek.
Koen Thas, Combinatoriek, Incidentiemeetkunde, Groepentheorie en Wiskundige Fysica.
Hendrik Van Maldeghem, Incidentiemeetkunde, Grafentheorie en Algebraische Combinatoriek.


Zie ook …


Incidentiemeetkunde

Parapolaire ruimten

Promotor: Anneleen De Schepper

Parapolaire ruimten zijn axiomatisch gedefinieerde meetkundes, geïntroduceerd door Cooperstein met als doel het gedrag van de punt-rechtemeetkundes gehecht aan de zogeheten "exceptionele gebouwen" te vatten. Zoals de naam suggereert, zitten parapolaire ruimten vol met polaire ruimten. Het is echter niet noodzakelijk om reeds bekend te zijn met polaire ruimten, er wordt gestart van elementaire axioma's. Desondanks de eenvoud van deze axioma's, of net daardoor, valt er heel veel te doen met deze structuren. Ze vormen niet enkel een handige tool wanneer men werkt met gebouwen, ze vormen ook een rijke theorie op zich. De standaardreferentie hier is het boek "Point and Lines" van Shult.

Wil je graag met nieuwe meetkundes leren werken en/of bijleren wat gebouwen zijn en hoe deze via dit standpunt te bestuderen en/of eventueel zelf aan de slag gaan en een karakterisatiestelling aantonen? Maak dan gerust een afspraak voor wat meer info--de mogelijkheden kunnen dan nog afgesteld worden op je interesses en voorkennis. 

Anneleen De Schepper

Karakterisaties van projecties van kwadrieken in eindige projectieve ruimten 

Promotor: Bart De Bruyn

 Weze Q een niet-singuliere kwadriek van PG(n,q) en x een punt van PG(n,q) niet op Q gelegen en eveneens verschillend van de kern van Q indien q even is en Q een parabolische kwadriek is. Weze H een hypervlak van PG(n,q) die x niet bevat en weze X de projectie van Q op H vanuit het punt x. Elke rechte van H zal X snijden in ofwel 1, ofwel (q+1)/2, ofwel (q+2)/2, ofwel (q+3)/2 ofwel q+1 punten. (Dit geeft drie mogelijke intersecties als q even is, en vier als q oneven is.) Een aantal auteurs (De Feyter & De Clerck, Glynn, Hirschfeld & Thas, Sherman) hebben een bijna volledige classificatie bekomen van alle puntenverzamelingen in eindige projectieve ruimten die bovenvermeld intersectiepatroon vertonen met de rechten van de projectieve ruimten. De projecties van kwadrieken (zoals hierboven gedefinieerd) spelen in deze classificatie een dominante rol. Het is de bedoeling om deze classificatieresultaten de bestuderen en uit te werken.

Bart De Bruyn

Tits-Gebouwen en Polaire Ruimten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een "sferisch gebouw" is een verdere veralgemening van "Projectieve ruimte" en "Polaire ruimte". In feite zijn er nog slechts drie klassen sferische gebouwen die geen projectieve ruimten of polaire ruimten zijn, en dat zijn de sferische gebouwen van type E_n, n=6,7,8, die van type F_4, en de veralgemeende veelhoeken. De bedoeling van een thesis in dit onderwerp kan typisch zijn om de axiomatiek van één van deze klassen uit te werken en enkele eigenschappen daaruit te bewijzen, in dezelfde trant als gedaan wordt in de cursus "Polaire Ruimten". Een andere mogelijkheid is om de theorie van de polaire ruimten nog een beetje verder en dieper te bestuderen, met een onderwerp naar keuze. Mogelijkheden zijn: klassering, inbeddingen, automorfismen, trialiteiten en veralgemeende zeshoeken, Veronese inbeddingen van de niet-inbedbare polaire ruimten, enz. Tenslotte kunnen ook klassen van niet-sferische gebouwen onderzocht worden, bijvoorbeeld affiene gebouwen, of tweeling-gebouwen (als bijzonder geval de tweeling-bomen), enz. De student(e) geinteresseerd in deze basisstructuren van de interactie tussen groepentheorie en incidentiemeetkunde (waarvoor Jacques Tits, als Belg geboren, de Abel prijs verwierf in 2008) wordt aangemoedigd om eens langs te komen voor verdere uitleg om alzo de best passende keuze te kunnen maken. 

Hendrik Van Maldeghem

Veralgemeende zeshoeken

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een veralgemeende zeshoek is een incidentiemeetkunde van rang 2 waarvan de incidentiegraaf taille 12 heeft en diameter 6. Er bestaan representaties van deze structuren in projectieve ruimten en verscheidene karakteriseringen zijn gekend, meestal voor het eindig geval. De bedoeling van de thesis zou zijn om deze resultaten te bestuderen en te proberen ze zo algemeen mogelijk te bewijzen, bijvoorbeeld door de voorwaarde van eindigheid te laten vallen. Een goed begin zijn de stellingen over de representaties van de vlag-complexen van projectieve vlakken (die niet-dikke veralemeende zeshoeken zijn). 

Hendrik Van Maldeghem

Groepen van polynomiale groei

Promotor: Koen Thas

In een bekend artikel [GR] bewees Mikhael Gromov de volgende stelling

Stelling. Indien een eindig voortgebrachte groep een polynomiale groei heeft, bevat hij een nilpotente deelgroep van eindige index

Dit resultaat heeft diverse sterke gevolgen (onder andere voor topologische variëteiten).

Bij dit onderwerp is het de bedoeling het hoofdresultaat van [GR], en de tal van gevolgen,  in detail uit te werken.

[GR] M. Gromov. Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits), Publ. Math. I. H. E. S. 53 (1981), 53-78.

Koen Thas

Lokaal eindige veralgemeende vierhoeken

Promotor: Koen Thas

Een berucht open probleem in Incidentiemeetkunde gesteld door Jacques Tits is de vraag naar het wel dan niet bestaan van dikke veralgemeende vierhoeken met eindige veel punten op elke rechte, en oneindig veel rechten door elk punt. Weinig resultaten zijn gekend; er is enkele geweten dat een dikke veralgemeende vierhoek met ten hoogste 5 punten op een rechte eindig moet zijn.

In recente tijden is gebleken dat vooral Modeltheorie mogelijkheden biedt om dit probleem aan te vallen, cf. [CH].

Bedoeling is om de gekende resultaten uit te spitten, alsook de onderliggende Modeltheorie en Combinatoriek te bestuderen.

[CH] G. Cherlin. Locally finite generalized quadrangles with at most five points per line, Discrete Math. 291 (2005), 73-79.

Koen Thas

Algebra

Toric Varieties: A Computational Approach

Supervisor: Fatemeh Mohammadi

Combinatorial algebraic geometry is the study of varieties with a combinatorial structure. Toric varieties form an important part of this field. Due to combinatorial tools, toric varieties are well-studied and they play an important role in commutative algebra, algebraic geometry, and combinatorics. There are several methods developed in polyhedral and combinatorial geometry to compute the invariants of a toric variety. Throughout this project, the student will gain a good understanding of the literature with a focus on computational aspects.
Fatemeh Mohammadi

System Reliability Theory: An Algebraic and Geometric Approach

Supervisor: Fatemeh Mohammadi

Consider a network in which every link has an associated probability which determines how likely it is that the link is operational. One can think of the nodes as a set of people who pass messages among themselves and links as communication links among them. Computing various reliability notions of messaging in such a network has many applications. A well-studied case arises when a person is fixed as a source and multiple people as targets, and the objective is to find the probability of the source being able to communicate with the targets. The goal of this project is to use the geometric structure of the underlined network to find algorithms to compute its reliability efficiently.

Fatemeh Mohammadi

De Tits-Kantor-Koecher constructie voor Jordan algebra's, structureerbare algebra's, en tripelsystemen

Promotor: Tom De Medts

De klassieke Tits-Kantor-Koecher constructie is een methode die een Lie algebra construeert uit een Jordan algebra (dit is een welbepaalde soort niet-associatieve algebra). Dit geeft ondermeer aanleiding tot constructies van exceptionele Lie algebra's; zo bekomt men bijvoorbeeld een Lie algebra van type E7 (van dimensie 133) door te vetrekken van een exceptionele 27-dimensionale Jordan algebra.

Deze constructie kan veralgemeend worden door te vertrekken van andere algebraische structuren dan Jordan algebra's. Zo kan men ook vertrekken van een zogenaamde structureerbare algebra (een veralgemening van Jordan algebra's, die ondermeer associatieve algebra's met involutie omvat), en een gelijkaardige Tits-Kantor-Koecher constructie uitvoeren.

Nog in deze context kan men vertrekken van verscheidene soorten tripelsystemen (o.a. Kantor tripelsystemen, Freudenthal tripelsystemen) of paren (Jordan paren, Kantor paren) en opnieuw dergelijke constructies uitvoeren.

De bedoeling van de thesis is om met deze constructies vertrouwd te geraken en hier een duidelijk overzicht van te geven. In het bijzonder is het de bedoeling om na te gaan welke exceptionele Lie algebra's men op deze wijze bekomt, en om duidelijke verbanden tussen deze verschillende algebraische structuren en tripelsystemen te leggen.

Tom De Medts

Scherp tweevoudig transitieve groepen

Promotor: Tom De Medts

De actie van een groep G op een verzameling X wordt scherp tweevoudig transitief genoemd als er voor elke twee paren van elementen in X precies één element van G  bestaat dat het eerste paar op het tweede paar afbeeldt. Dergelijke permutatiegroepen G hebben een heel interessante structuur.

De scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep wordt gespleten genoemd als G een scherp transitieve abelse normaaldeler bezit. Heel lang heeft men vermoed dat elke scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep gespeleten was. Men wist reeds lang dat dit waar is voor eindige permutatiegroepen, en er waren ook tal van andere klassen bekend waarvoor men dit kon bewijzen.

De verrassing was dan ook groot toen enkele jaren geleden door Eliahu Rips, Yoav Segev en Katrin Tent werd bewezen dat dit vermoeden fout is. Sterker nog, ze construeerden een oneindige klasse van tegenvoorbeelden.

Nu men weet dat er tegenvoorbeelden bestaan, hebben verschillende wiskundigen alternatieve constructies gevonden, die in sommige gevallen voldoen aan bijkomende voorwaarden (zoals lineariteit).

De bedoeling van deze thesis is om vertrouwd te geraken met deze constructies en er een duidelijk overzicht van te geven.

[RST17] Eliahu Rips, Yoav Segev, Katrin Tent, A sharply 2-transitive group without a non-trivial abelian normal subgroup, J. Eur. Math. Soc. 19 (2017), 2895–2910.

[RT19] Eliyahu Rips, Katrin Tent, Sharply 2-transitive groups of characteristic 0. J. Reine Angew. Math. 750 (2019), 227–238.

Tom De Medts