Rechtensystemen in Euclidische ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een rechtensyteem van type (a₁,a₂,...,a_k) in de n-dimensionale Euclidische ruimte E_n is een verzameling rechten door de oorsprong met de eigenschap dat de cosinussen van de hoeken tussen twee verschillende rechten van deze rechtenverzameling allemaal bevat zijn in {a₁,a₂,...,a_k}. Voor deze thesis zal gekeken worden naar rechtensystemen van type (0,1/2) en (0,1/3). Merk hierbij op dat Arccos(-1/2) (respectievelijk Arccos(-1/3)) de hoek is gevormd door twee rechten die het zwaartepunt van een regelmatige driehoek (respectievelijk tetraëder) verbinden met twee hoekpunten. De literatuur bevat verscheidene klassificatieresultaten over dergelijke rechtensystemen. Speciale aandacht zal geschonken worden aan de zogenaamde ster-gesloten en tetraëdrisch gesloten rechtensystemen en de verbanden die deze rechtensystemen hebben met bepaalde meetkundes zoals veralgemeende vierhoeken en schier veelhoeken.

Karakterisaties van projecties van kwadrieken in eindige projectieve ruimten 

Promotor: Bart De Bruyn

 Weze Q een niet-singuliere kwadriek van PG(n,q) en x een punt van PG(n,q) niet op Q gelegen en eveneens verschillend van de kern van Q indien q even is en Q een parabolische kwadriek is. Weze H een hypervlak van PG(n,q) die x niet bevat en weze X de projectie van Q op H vanuit het punt x. Elke rechte van H zal X snijden in ofwel 1, ofwel (q+1)/2, ofwel (q+2)/2, ofwel (q+3)/2 ofwel q+1 punten. (Dit geeft drie mogelijke intersecties als q even is, en vier als q oneven is.) Een aantal auteurs (De Feyter & De Clerck, Glynn, Hirschfeld & Thas, Sherman) hebben een bijna volledige classificatie bekomen van alle puntenverzamelingen in eindige projectieve ruimten die bovenvermeld intersectiepatroon vertonen met de rechten van de projectieve ruimten. De projecties van kwadrieken (zoals hierboven gedefinieerd) spelen in deze classificatie een dominante rol. Het is de bedoeling om deze classificatieresultaten de bestuderen en uit te werken.

Omtrent Tits-Gebouwen

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een "sferisch gebouw" is een verdere veralgemening van "Projectieve ruimte" en "Polaire ruimte". In feite zijn er nog slechts drie klassen sferische gebouwen die geen projectieve ruimten of polaire ruimten zijn, en dat zijn de sferische gebouwen van type E_n, n=6,7,8, die van type F_4, en de veralgemeende veelhoeken. De bedoeling van een thesis in dit onderwerp kan typisch zijn om de axiomatiek van één van deze klassen uit te werken en enkele eigenschappen daaruit te bewijzen, in dezelfde trant als gedaan wordt in de cursus "Polaire Ruimten". Een andere mogelijkheid is om de theorie van de polaire ruimten nog een beetje verder en dieper te bestuderen, met een onderwerp naar keuze. Mogelijkheden zijn: klassering, inbeddingen, automorfismen, trialiteiten en veralgemeende zeshoeken, Veronese inbeddingen van de niet-inbedbare polaire ruimten, enz. Tenslotte kunnen ook klassen van niet-sferische gebouwen onderzocht worden, bijvoorbeeld affiene gebouwen, of tweeling-gebouwen (als bijzonder geval de tweeling-bomen), enz. De student(e) geinteresseerd in deze basisstructuren van de interactie tussen groepentheorie en incidentiemeetkunde (waarvoor Jacques Tits, als Belg geboren, de Abel prijs verwierf in 2008) wordt aangemoedigd om eens langs te komen voor verdere uitleg om alzo de best passende keuze te kunnen maken. 

Veralgemeende dualiteiten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Jacques Tits introduceerde veralgemeende polariteiten in een projectieve ruimte om alle inbedbare polaire ruimten te beschrijven. Recentelijk breidde ik deze definitie uit naar veralgemeende dualiteiten tussen twee projectieve ruimten (niet noodzakeijk van de zelfde dimensie, zelfs niet van de zelfde orde) om alle geometrische hypervlakken te klasseren van zogenaamde Segre meetkundes, dat zijn simpelweg directe producten van twee projectieve ruimten. Het onderwerp van deze masterproef is onderzoeken of iets gelijkaardig kan gedaan worden voor het direct product van enerzijds twee andere meetkundes, vb polaire ruimten (of beter geschikte, zelf uit te zoeken en te experimenteren), en anderzijds meerdere projectieve ruimten (om in dit laatste geval veralgemeende trialiteiten en hoger te definiëren, te bestuderen en er een theorie rond te ontwikkelen met toepassing op hogere Segre meetkundes). 

Onnodig te benadrukken dat dit een onderzoeksproject is waarbij een niet-triviale onderzoeksinspanning van de student(e) gevraagd wordt. Afhankelijk van de verkregen resultaten kan dit onderzoek tot een publicatie leiden. 

Het König-probleem, en veralgemeningen

Promotor: Koen Thas

In 1936 stelde Denés König het volgende invers probleem:

“onderstel dat G een gegeven groep is; wanneer is G de volledige automorfismengroep van een graaf ?” 

Incidentiemeetkunde met en zonder het Keuzeaxioma

Promotor: Koen Thas

In niet-eindige Incidentiemeetkunde wordt het zoeken naar interessante combinatorische objecten en het onderzoeken van groepsacties sterk gedragen door het Keuzeaxioma. Zo toont werk van Beutselspacher en Cameron uit 1994 (Bull. Belgian Math. Soc. Simon Stevin 1, 337-347) aan dat transfiniete methoden leiden tot het bestaan van extreme meetkundes die in het eindig geval ondenkbaar zijn, of alleszins nog niet ontdekt. 

Neemt men echter het Keuzeaxioma niet aan, dan is het consistent om in modellen te werken van Zermelo-Fraenkel set theory waarin zowel de meetkunde als de symmetrie volledig anders is van aard. Zo bestaan er bijvoorbeeld projective ruimten zonder collineaties. Of hebben de complexe getallen maar één enkel niet-triviaal veldautomorfisme (wat dan weer een diepe meetkundige impact heeft). 

In dit proefschrift is het de bedoeling om een zoektocht te ondernemen in een meetkundige wereld zonder het Keuzeaxioma.  

Scherp tweevoudig transitieve groepen

Promotor: Tom De Medts

De actie van een groep G op een verzameling X wordt scherp tweevoudig transitief genoemd als er voor elke twee paren van elementen in X precies één element van G  bestaat dat het eerste paar op het tweede paar afbeeldt. Dergelijke permutatiegroepen G hebben een heel interessante structuur.

De scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep wordt gespleten genoemd als G een scherp transitieve abelse normaaldeler bezit. Heel lang heeft men vermoed dat elke scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep gespeleten was. Men wist reeds lang dat dit waar is voor eindige permutatiegroepen, en er waren ook tal van andere klassen bekend waarvoor men dit kon bewijzen.

De verrassing was dan ook groot toen enkele jaren geleden door Eliahu Rips, Yoav Segev en Katrin Tent werd bewezen dat dit vermoeden fout is. Sterker nog, ze construeerden een oneindige klasse van tegenvoorbeelden.

Nu men weet dat er tegenvoorbeelden bestaan, hebben verschillende wiskundigen alternatieve constructies gevonden, die in sommige gevallen voldoen aan bijkomende voorwaarden (zoals lineariteit).

De bedoeling van deze thesis is om vertrouwd te geraken met deze constructies en er een duidelijk overzicht van te geven.

[RST17] Eliahu Rips, Yoav Segev, Katrin Tent, A sharply 2-transitive group without a non-trivial abelian normal subgroup, J. Eur. Math. Soc. 19 (2017), 2895–2910.

[RT19] Eliyahu Rips, Katrin Tent, Sharply 2-transitive groups of characteristic 0. J. Reine Angew. Math. 750 (2019), 227–238.

Verzamelingtheoretische  oplossingen  van de Yang-Baxter vergelijking

Promotor: Arne Van Antwerpen

Verzamelingtheoretische  oplossingen van de Yang-Baxter vergelijking origineren in mathematische fysica, maar duiken op in vele takken van de algebra, waar ze o.a. opduiken in de theorie van quantumgroepen en kwadratische algebras. De studie van een belangrijke deelklasse van deze oplossingen gebeurt aan de hand van de zogeheten structuurgroep, wiens relaties de combinatoriek van de oplossing encoderen.
 
De gekende constructies van verzamelingtheoretische oplossingen waren vaak ad hoc. Echter, de introductie van (skew) left braces gaf hiervoor een oplossing. Deze structuren kan men beschrijven als een verzameling met 2 groepstructuren met een scheve linkerdistributiviteit, of equivalent als een bijective 1-cocycle tussen twee groepen. Zij veralgemenen Jacobson  radicaalringen en hebben een geassocieerde verzamelingtheoretische oplossing. Anderzijds heeft elke verzamelingtheoretische oplossing een geassocieerde skew left brace.
 
Deze masterthesis kan verschillende kanten opgaan, afhankelijk van de interesses van de student. We starten met een algemene achtergrond om de link tussen braces en oplossingen te begrijpen, waarna men kan verdiepen naar keuze. Enerzijds kan men focussen op de eigenschappen van oplossingen en hun bijhorende structuurgroep en diens algebra of op de structuur  van skew left braces en de link met oplossingen of de recente connecties tussen pre-Lie algebras en skew left braces, welke samen onder de noemer van  postgroups werden geplaatst.
 
[GV17] L. Guarnieri and L. Vendramin, Skew braces and the Yang-Baxter equation,  Math. Comp. 86 (2017), no. 307.
[ShSm22] A. Shalev and A. Smoktunowicz, From braces to pre-Lie rings, Arxiv:2207.03158.

Rechthoekige Coxeter groepen en rechthoekige Artin groepen

Promotor: Tom De Medts

Een rechthoekige Coxeter groep (RACG) is een groep voortgebracht door een aantal involuties, met als enige bijkomende relaties dat sommige van deze involuties met elkaar commuteren. Een rechthoekige Artin groep (RAAG) is een groep voortgebracht door een aantal elementen van oneindige orde, met als enige bijkomende relaties dat sommige van deze voortbrengers met elkaar commuteren.

Deze groepen hebben een ongelooflijk rijke structuur, wat verrassend is gezien hun eenvoudige definitie. Ze worden vaak bestudeerd met technieken uit de geometrische groepentheorie.

De masterthesis kan heel wat verschillende aspecten van deze groepen bestuderen. Deelgroepenstructuur, commensurabiliteit, automorfismengroepen, ... Dit laatste is een pittig onderwerp, want bevat ondermeer de studie van Out(F_n) voor de vrije groepen F_n, en dat is op zich al een erg mysterieus object.

[Cha07] Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups, Geom. Dedicata 125 (2007), 141–158.