Thesisonderwerpen wiskunde bij de Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde

Thesissen in de vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde

Wanneer men een masterscriptie wil maken in de Zuivere Wiskunde kan men uit een waaier van specialisatierichtingen kiezen. Verschillende onderzoekers en onderzoeksgroepen uit de vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde bieden de mogelijkheid om thesiswerk te verrichten dat aansluit bij hun specialisatiedomein en/of bij hun onderzoek.

Er is geen beperkende lijst van onderwerpen waaruit de studenten moeten kiezen. Bij wijze van voorbeeld vindt men op deze webpagina een aantal concrete onderwerpen. De studenten kunnen ook zelf een voorstel doen, over de richting, aard en karakter van het werk dat ze willen doen, dit wordt zelfs aangemoedigd.

We raden u aan rechtstreeks contact op te nemen met de potentiële promotoren. Zo krijgt u uit eerste hand een goed idee van de inhoud van de verschillende specialisaties en van de mogelijke onderwerpen. Dit kan men bijvoorbeeld doen in de loop van het tweede semester van de 1ste master. Op die manier kan men bijvoorbeeld al 1 of 2 mogelijke richtingen kiezen. Na de examens (rond de proclamatie) zullen de promotoren de onderwerpen meer gedetailleerd toelichten en duidelijk maken wat juist verwacht wordt van de studenten. Dit kan, afhankelijk van de interesse, individueel of in groep gebeuren. Men kan dan een voorlopige keuze maken van bijvoorbeeld 2 of 3 onderwerpen. Aan de hand van de opgegeven literatuur kan men zich beginnen voorbereiden op het eigenlijke thesiswerk en een definitieve keuze maken bij de start van het nieuwe academiejaar.

Lijst van potentiële promotoren:

Yairon Cid Ruiz, Commutatieve algebra.
Bart De Bruyn, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
Tom De Medts, Algebra en groepentheorie.
Anneleen De Schepper, Incidentiemeetkunde, (para)polaire ruimten, gebouwentheorie.
Koen Thas, Combinatoriek, incidentiemeetkunde, groepentheorie, wiskundige fysica.
Hendrik Van Maldeghem, Incidentiemeetkunde, grafentheorie, algebraïsche combinatoriek.


Zie ook …


Incidentiemeetkunde

Hyperovalen van veralgemeende vierhoeken en polaire ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een hyperovaal van een meetkunde is een niet-ledige verzameling punten die elke rechte snijdt in ofwel 0 ofwel 2 punten. De eerste meetkunden waarvoor hyperovalen intensief onderzocht werden waren de (axiomatische) projectieve vlakken. In de theorie van de projectieve vlakken spelen ze een fundamentele rol. Ze hebben bijvoorbeeld een essentiële rol gespeeld in het niet-bestaans resultaat voor de projectieve vlakken van orde 10.

De thesis heeft als doel om hyperovalen van andere meetkunden zoals veralgemeende vierhoeken en polaire ruimten te bestuderen. Er bestaan verbanden tussen dergelijke hyperovalen en bepaalde andere meetkunden zoals uitgebreide veralgemeende vierhoeken en lokaal-polaire-ruimten. Er bestaan ook verbanden tussen hyperovalen van veralgemeende vierhoeken, hyperovalen van polaire ruimten en hyperovalen van projectieve vlakken.

De bedoeling is om enkele gekende resultaten uit de literatuur verder uit te werken. Meer bepaald wordt hier gedacht aan constructies en classificatieresultaten. Er is eventueel ook ruimte voor eigen inbreng door bepaalde problemen zelfstandig te onderzoeken.

Bart De Bruyn

Karakterisaties van projecties van kwadrieken in eindige projectieve ruimten 

Promotor: Bart De Bruyn

 Weze Q een niet-singuliere kwadriek van PG(n,q) en x een punt van PG(n,q) niet op Q gelegen en eveneens verschillend van de kern van Q indien q even is en Q een parabolische kwadriek is. Weze H een hypervlak van PG(n,q) die x niet bevat en weze X de projectie van Q op H vanuit het punt x. Elke rechte van H zal X snijden in ofwel 1, ofwel (q+1)/2, ofwel (q+2)/2, ofwel (q+3)/2 ofwel q+1 punten. (Dit geeft drie mogelijke intersecties als q even is, en vier als q oneven is.) Een aantal auteurs (De Feyter & De Clerck, Glynn, Hirschfeld & Thas, Sherman) hebben een bijna volledige classificatie bekomen van alle puntenverzamelingen in eindige projectieve ruimten die bovenvermeld intersectiepatroon vertonen met de rechten van de projectieve ruimten. De projecties van kwadrieken (zoals hierboven gedefinieerd) spelen in deze classificatie een dominante rol. Het is de bedoeling om deze classificatieresultaten de bestuderen en uit te werken.

Bart De Bruyn

Tits-Gebouwen en Polaire Ruimten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Een "sferisch gebouw" is een verdere veralgemening van "Projectieve ruimte" en "Polaire ruimte". In feite zijn er nog slechts drie klassen sferische gebouwen die geen projectieve ruimten of polaire ruimten zijn, en dat zijn de sferische gebouwen van type E_n, n=6,7,8, die van type F_4, en de veralgemeende veelhoeken. De bedoeling van een thesis in dit onderwerp kan typisch zijn om de axiomatiek van één van deze klassen uit te werken en enkele eigenschappen daaruit te bewijzen, in dezelfde trant als gedaan wordt in de cursus "Polaire Ruimten". Een andere mogelijkheid is om de theorie van de polaire ruimten nog een beetje verder en dieper te bestuderen, met een onderwerp naar keuze. Mogelijkheden zijn: klassering, inbeddingen, automorfismen, trialiteiten en veralgemeende zeshoeken, Veronese inbeddingen van de niet-inbedbare polaire ruimten, enz. Tenslotte kunnen ook klassen van niet-sferische gebouwen onderzocht worden, bijvoorbeeld affiene gebouwen, of tweeling-gebouwen (als bijzonder geval de tweeling-bomen), enz. De student(e) geinteresseerd in deze basisstructuren van de interactie tussen groepentheorie en incidentiemeetkunde (waarvoor Jacques Tits, als Belg geboren, de Abel prijs verwierf in 2008) wordt aangemoedigd om eens langs te komen voor verdere uitleg om alzo de best passende keuze te kunnen maken. 

Hendrik Van Maldeghem

Rang 3 grafen

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

In een recent boek met titel "Strongly Regular Graphs" (A. E. Brouwer & H. Van Maldeghem) worden alle (eindige) rang 3 grafen beschreven (een rang 3 graaf is een graaf waarbij de automorfismegroep transitief werkt op de toppen, en de stabilizator van een punt juist twee andere banen heeft; zulke grafen zijn altijd sterk regulier, d.w.z., het aantal toppen adjacent met twee gegeven toppen hangt alleen af van het feit of die twee gegeven toppen adjacent zijn of niet). Echter, de beschrijving geeft niet direct aan welke grafen onderling isomorf zijn. Het onderwerp van deze thesis is om alle isomorfismen in deze lijst te vinden en uit te pluizen, om alzo te komen tot een lijst van alle eindige rang 3 grafen, zonder herhalingen. Dit onderwerp vergt enige interesse in groepentheorie en meetkunde.  

Hendrik Van Maldeghem

Het König-probleem, en veralgemeningen

Promotor: Koen Thas

In 1936 stelde Denés König het volgende invers probleem:

“onderstel dat G een gegeven groep is; wanneer is de volledige automorfismengroep van een graaf ?” 

Later werk van Frucht (voor eindige groepen) en Sabidussi (voor oneindige groepen) loste dit probleem volledig op. De bedoeling van deze thesis is het König-probleem en zijn oplossingen te bestuderen, en ook diverse toepassingen te onderzoeken. 
 
Tal van variaties zijn mogelijk, zoals het König-probleem uitspitten voor andere rang-2-meetkundes (denk aan projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, meetkundes gedefinieerd over het veld met 1 element, etc.).  

 

Koen Thas

Oneindige veralgemeende vierhoeken

Promotor: Koen Thas

Veralgemeende vierhoeken zijn diep-onderzochte punt-rechte meetkundes, familie van axiomatsiche projectieve vlakken en voorbeelden van polaire ruimten. Voornamelijk op het eindige gebied zijn systematische studies van vierhoeken uitgevoerd, maar in veel mindere mate voor de oneindige theorie. 

In dit project is het de bedoeling om diverse aspecten van oneindige veralgemeende vierhoeken te bestuderen. Het aantal mogelijkheden is (letterlijk) eindeloos, maar hier zijn enkele concrete voorbeelden van potentiële onderwerpen: 
 
  • oneindige elatie-of translatievierhoeken en andere lokale Moufang-voorwaarden; 
  • lokaal eindige vierhoeken (bekende probleemstelling van Abelprijs-winnaar Tits); 
  • combinatorische objecten in oneindige vierhoeken zoals deelvierhoeken, m-spreads en n-ovoiden;  
  • Singer-acties en differentieverzamelingen voor oneindige vierhoeken; 
  • oneindige flock-vierhoeken; 
  • vrije constructies,

 en veel meer. 

De student kan zelf zijn of haar favoriete smaak of smaken uitkiezen, en er mee aan de slag gaan. Ook eigen werk is mogelijk. 
 
 
 
 

 

Koen Thas

Algebra

Scherp tweevoudig transitieve groepen

Promotor: Tom De Medts

De actie van een groep G op een verzameling X wordt scherp tweevoudig transitief genoemd als er voor elke twee paren van elementen in X precies één element van G  bestaat dat het eerste paar op het tweede paar afbeeldt. Dergelijke permutatiegroepen G hebben een heel interessante structuur.

De scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep wordt gespleten genoemd als G een scherp transitieve abelse normaaldeler bezit. Heel lang heeft men vermoed dat elke scherp tweevoudig transitieve permutatiegroep gespeleten was. Men wist reeds lang dat dit waar is voor eindige permutatiegroepen, en er waren ook tal van andere klassen bekend waarvoor men dit kon bewijzen.

De verrassing was dan ook groot toen enkele jaren geleden door Eliahu Rips, Yoav Segev en Katrin Tent werd bewezen dat dit vermoeden fout is. Sterker nog, ze construeerden een oneindige klasse van tegenvoorbeelden.

Nu men weet dat er tegenvoorbeelden bestaan, hebben verschillende wiskundigen alternatieve constructies gevonden, die in sommige gevallen voldoen aan bijkomende voorwaarden (zoals lineariteit).

De bedoeling van deze thesis is om vertrouwd te geraken met deze constructies en er een duidelijk overzicht van te geven.

[RST17] Eliahu Rips, Yoav Segev, Katrin Tent, A sharply 2-transitive group without a non-trivial abelian normal subgroup, J. Eur. Math. Soc. 19 (2017), 2895–2910.

[RT19] Eliyahu Rips, Katrin Tent, Sharply 2-transitive groups of characteristic 0. J. Reine Angew. Math. 750 (2019), 227–238.

Tom De Medts

Vertex operator algebras

Promotor: Tom De Medts

Vertex operator algebras (VOAs) zijn bijzonder intrigerende structuren. Ze vinden hun oorsprong in de fyisca (meer bepaald in de conformale quantumveldentheorie en snaartheorie) maar zijn een cruciaal onderdeel gebleken in het verklaren van de "Monstrous Moonshine" die een verband legt tussen getaltheorie en de grootste sporadische eindige enkelvoudige groep, het Monster.
 
De theorie van VOAs is niet eenvoudig: het duurt even om gewoon te worden aan de axioma's, die gebruik maken van "formele calculus" in de ring C[[x, x-1]], en bovendien is het al een hele klus om niet-triviale voorbeelden te construeren. Dit maakt het des te verrassender dat deze objecten zo een invloed hebben in verschillende takken van de wiskunde én de fysica.
 
Het doel van deze thesis is om vooreerst vertrouwd te raken met de theorie van VOAs. Het vervolg is afhankelijk van de interesses van de student. Het bestuderen van de monstrous moonshine is een (uitdagende!) mogelijkheid, maar de focus kan ook liggen op voorbeelden afkomstig van affiene Lie algebra's, of op universele constructies vanuit commutatieve niet-associatieve algebra's, om maar enkele mogelijkheden te vermelden.
 
[LL04] James Lepowsky, Haisheng Li, Introduction to Vertex Operator Algebras and Their Representations, Springer, 2004.
 
[Gan06] Tarry Gannon, Moonshine beyond the Monster, Cambridge UP, 2006.
Tom De Medts