Thesisonderwerpen wiskunde bij de Vakgroep Wiskunde: Analyse, Logica en Discrete Wiskunde

Thesissen in de vakgroep Wiskunde: Analyse, Logica en Discrete Wiskunde

Wanneer men een masterscriptie wil maken in de Zuivere Wiskunde kan men uit een waaier van specialisatierichtingen kiezen. Verschillende onderzoekers en onderzoeksgroepen uit de vakgroep Wiskunde: Analyse, Logica en Discrete Wiskunde bieden de mogelijkheid om thesiswerk te verrichten dat aansluit bij hun specialisatiedomein en/of bij hun onderzoek.

Er is geen beperkende lijst van onderwerpen waaruit de studenten moeten kiezen. Bij wijze van voorbeeld vindt men op deze webpagina een aantal concrete onderwerpen. De studenten kunnen ook zelf een voorstel doen, over de richting, aard en karakter van het werk dat ze willen doen, dit wordt zelfs aangemoedigd.

We raden u aan rechtstreeks contact op te nemen met de potentiële promotoren. Zo krijgt u uit eerste hand een goed idee van de inhoud van de verschillende specialisaties en van de mogelijke onderwerpen. Dit kan men bijvoorbeeld doen in de loop van het tweede semester van de 1ste master. Op die manier kan men bijvoorbeeld al 1 of 2 mogelijke richtingen kiezen. Na de examens (rond de proclamatie) zullen de promotoren de onderwerpen meer gedetailleerd toelichten en duidelijk maken wat juist verwacht wordt van de studenten. Dit kan, afhankelijk van de interesse, individueel of in groep gebeuren. Men kan dan een voorlopige keuze maken van bijvoorbeeld 2 of 3 onderwerpen. Aan de hand van de opgegeven literatuur kan men zich beginnen voorbereiden op het eigenlijke thesiswerk en een definitieve keuze maken bij de start van het nieuwe academiejaar.

Lijst van potentiële promotoren:

J. De Beule, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.
A. Weiermann en medewerkers, Computeralgebra.
M. Ruzhansky.
H. Vernaeve, J. Vindas en medewerkers, Analyse.
L. Storme en medewerkers, Combinatoriek en incidentiemeetkunde.


Zie ook …


Incidentiemeetkunde

Deelstructuren in eindige projectieve ruimten en eindige klassieke polaire ruimten (Meetkunde)

Promotor: Leo Storme

Binnen eindige projectieve ruimten en eindige klassieke polaire ruimten worden vele verschillende deelstructuren bestudeerd. Dit omvat blokkerende verzamelingen, partiele spreads, en recent ook Cameron-Liebler rechtenverzamelingen, Erdos-Ko-Rado verzamelingen, en tight sets.

Binnen dit onderwerp worden enkele deelstructuren bestudeerd die recent veel aandacht gekregen hebben binnen de eindige projectieve ruimten en/of eindige klassieke polaire ruimten. 

Zo kan er een studie gemaakt worden van partiele k-spreads in eindige projectieve ruimten. Een partiele k-spread in PG(n,q) is een verzameling van paarsgewijs disjuncte k-dimensionale deelruimten in PG(n,q). Een partiele k-spread noemen we maximaal als zij niet bevat is in een grotere partiele k-spread.

Zo kan het recente resultaat van Dr. Maarten De Boeck besproken worden over de ondergrens op de kleinste maximale partiele k-spreads in PG(2k+1,q), alsook andere verwante resultaten over maximale partiele k-spreads in PG(n,q).

 Analoog wordt er op dit ogenblik intensief onderzoek verricht over Erdos-Ko-Rado verzamelingen en Cameron-Liebler verzamelingen in eindige projectieve ruimten. Hier worden er, naast meetkundige, ook  vele andere  technieken gebruikt, zoals matrixtechnieken. Bij een keuze voor de studie van deze deelstructuren kunnen dus verschillende technieken bestudeerd worden.

Leo Storme

Lineaire codes komende van meetkundige structuren (Codeertheorie en meetkunde)

Promotor: Leo Storme

Binnen de codeertheorie worden vele codes bestudeerd die in verband staan met meetkundige structuren. Zo worden in detail de lineaire p-aire codes gedefinieerd door de incidentiematrices van punten met k-ruimten van PG(n,q), q=p^h, p priem, bestudeerd. Analoog worden de duale codes van deze lineaire codes bestudeerd.

Verder zijn er vele verbanden tussen lineaire codes en specifieke deelverzamelingen punten in eindige projectieve ruimten. Dit verband gebeurt heel veel via de kolommen van een generator of pariteitscontrole matrix van deze lineaire codes. Via deze verbanden tussen lineaire codes en specifieke deelverzamelingen punten in eindige projectieve ruimten hebben vele problemen uit de codeertheorie een equivalent meetkundig probleem. Twee concrete voorbeelden zijn het verband tussen lineaire MDS codes en bogen, en tussen lineaire codes die de Griesmer grens bereiken en minihypers.

Op dit ogenblik is er een groot europees project over random network codes (http://www.network-coding.eu/). Dit is een nieuw type code waarin de codewoorden projectieve deelruimten uit een gegeven eindige projectieve ruimte zijn. Dit impliceert dat vele problemen over random network codes gelijk zijn aan meetkundige problemen. 

Deze masterproef heeft tot doel codes en verbanden met deelstructuren uit projectieve ruimten te bestuderen. Er kan gekozen worden om lineaire codes corresponderend met eindige projectieve ruimten te bestuderen, om een specifiek verband tussen een bepaald probleem uit de codeertheorie met een equivalent meetkundig probleem te bestuderen, of om random network codes te bestuderen.

Leo Storme

Logica en Analyse

Logische Limietwetten voor ordinalen

Een mogelijke thesis gaat over eigenschappen van toevallig gekozen ordinalen.We nemen aan dat E een eigenschap van ordinalen is die kan worden uitgedrukt in de logica van eerste orde of in de monadische logica van tweede orde. We nemen verder aan dat een bepaald segment S van ordinalen is gegeven. Hoe groot is de kans dat E waar is voor een ordinaal alpha uit S als we alpha uit S "toevallig" kiezen?

In het project gaat het erover om in een gepaste context eerst een nul een wet voor de logida van eerste orde te bewijzen voor echte deelsegmenten van de ordinalen kleiner dan epsilon_0 en het zou dan worden aangetoond dat voor de monadische logica nog steeds gepaste limietwetten bestaan. 

Andreas Weiermann

Infinitesimale Analyse en Topologische Vectorruimten

Promotor: Hans Vernaeve

In de cursus Infinitesimale analyse behandelen we distributietheorie, en kort ook algemene topologie, met infinitesimalen (d.m.v. een nietstandaard model). Klassiek worden resultaten over distributies gekaderd binnen de (zeer uitgebreid bestudeerde) algemene theorie van de topologische vectorruimten. In deze thesis willen we

1) de bestaande nietstandaard theorie van topologische vectorruimten beter leren kennen

2) een aantal verdere stellingen over distributietheorie binnen het infinitesimale framework uitwerken.

Hans Vernaeve

Integralen in de infinitesimale analyse

Promotor: Hans Vernaeve

in de cursus infinitesimale analyse behandelden we de Riemann-integraal met infinitesimalen. Er bestaat ook een infinitesimale aanpak van Lebesgue-maat en Lebesgue-integraal (via de zgn. Loeb-maat). In deze thesis willen we deze theorie leren kennen. Aansluitend kunnen we onderzoeken in hoeverre er een nietstandaard-theorie van algemenere integralen (zoals de Henstock-Kurzweil integraal of de distributionele integraal) bestaat, hetzij via hypereindige sommen, hetzij via de *-integraal van interne functies.

Hans Vernaeve
The Continuum Hypothesis and Forcing

Cantor's Continuum Hypothesis asserts that there is no set of real numbers whose cardinality is strictly between those of the set of all natural numbers and the set of all real numbers. By theorems of Kurt Gödel and Paul Cohen, the Continuum Hypothesis is neither provable nor refutable from the Zermelo-Fraenkel axioms of set theory.

Cohen's proof introduced the technique of "forcing." Essentially, it is a way of extending a set-theoretic universe into a larger one with different properties, with the goal of "forcing" a certain statement to become true or false. This thesis will explore the basics of forcing and some of its uses.
Juan Aguilera
Reverse Mathematics and Infinite Games

Reverse Mathematics is the branch of logic that studies which axioms are needed to prove which theorems in mathematics. This is done by deriving theorems from the axioms, and then the axioms from the theorems, thus establishing their equivalence.

This thesis would study the main axiomatic systems that show up in reverse mathematics and some theorems from algebra or analysis that they correspond to. Its main focus will be the reverse mathematics of theorems of determinacy for infinite games on the natural numbers.
Juan Aguilera

Asymptotische verdeling van veralgemeende priemgetallen en veralgemeende gehelen

Promotor: Jasson Vindas

De theorie van de veralgemeende priemgetallen stelt zich als doel de verzameling van de gewone priemgetallen te vervangen door een tamelijk willekeurige stijgende rij van positieve reële getallen (veralgemeende priemgetallen). Ze bestudeert de multiplicatieve groep die hierdoor voortgebracht wordt (veralgemeende gehelen) en het verband tussen asymptotische eigenschappen van de verdeling van de veralgemeende gehelen en priemgetallen. Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd in 1937 door Beurling, die in deze context abstracte versies vond van de priemgetallenstelling.

Het doel van de thesis is klassieke en recente resultaten in dit gebied te bestuderen en een dieper begrip te verkrijgen over een aantal nuttige technieken uit de analyse die hier gebruikt worden (o.a. uit de Fourier-analyse en complexe analyse).

Jasson Vindas Diaz

Analytische voorstellingen en randwaarden

Promotor: Jasson Vindas

Een idee dat in de analyse zeer nuttig gebleken is, is het bestuderen van reële objecten d.m.v. complexe objecten. Zo kan men eigenschappen van een functie van een reële veranderlijke beter begrijpen door over te gaan op het complexe vlak en haar te beschouwen als de sprong die twee analytische functies maken wanneer men de reële as doorkruist. Dit idee leidt tot het concept analytische voorstelling. Het eerste doel van de thesis is een aantal technieken te bestuderen om analytische voorstellingen te construeren. Het omgekeerde probleem is ook interessant: de randwaarden van een analytische functie geven ook waardevolle informatie over de functie zelf. Het tweede doel van de thesis is om randwaarden te bestuderen van analytische functies die behoren tot bepaalde ruimten van functies van reële veranderlijken.

Jasson Vindas Diaz

Rijruimten representaties

Promotoren: Andreas Debrouwere en Jasson Vindas

Verscheidene functie- en distributieruimten kunnen gerepresenteerd worden als Köthe rijruimten. Naast hun inherente elegantie, zijn zulke representaties ook belangrijk voor de isomorfisme classificatie en de topologische eigenschappen van zulke ruimten. Deze representaties worden vaak bewezen met behulp van diepe stellingen uit functionaalanalyse omtrent de structuur van de Köthe rijruimten. Het doel van deze thesis is om vertrouwd te geraken met deze technieken en enkele van deze isomorfismen te bewijzen.

References

R. Meise, D.Vogt, Introduction to functional analysis, Clarendon Press, 1997.

D. Vogt, Sequence space representations of test functions and distributions, in: Functional analysis, holomorphy and approximation theory, Proc. Semin., Rio de Janeiro 1979, Lect. Notes Pure Appl. Math. 83 (1983, 405-443.

Jasson Vindas Diaz

Holomologische algebra technieken in de analyse

Promotoren: Andreas Debrouwere en Jasson Vindas

Verscheidene stellingen in de analyse worden impliciet bewezen met behulp van technieken uit de homologische algebra. Zulke techieken worden systematisch bestudeerd in de theorie omtrent de zogenaamde afgeleide projectieve limiet functor.

Het doel van deze thesis is om vertrouwd te geraken met deze abstracte theorie en hem vervolgens toe te passen op verscheidene concrete problemen uit complexe analyse en functionaalanalyse zoals de stelling van Mittag-Lefler, stelling van Cousin, karakterisatie van surjectieve differentiaaloperatoren, ... .

References:

J. Wengenroth, Derived functors in functional analysis, Springer-Verslag, Berling, 2003.

A. Debrouwere, J. Vindas, Solution to the first Cousin problem for vector-valued quasianalytic functions, Ann. Mat. Pura Appl. 196 (2017), 1983-2003.

Jasson Vindas Diaz

Partial differential equations with singularities

In this project we will deal with different models of partial differential equations with coefficients exhibiting singular behaviour. It is well known than the classical theory of distributions does not apply in the case of strong singularities, however, recently new approaches have emerged based on the so-called very weak solutions. We will investigate properties of such solutions in several fundamental models from points of view of both pure and applied mathematics.

References:

Garetto C., Ruzhansky M., Hyperbolic second order equations with non-regular time dependent coefficients, Arch. Ration. Mech. Anal., 217 (2015), 113-154.

Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Wave equation for operators with discrete spectrum and irregular propagation speed, Arch. Ration. Mech. Anal., 226 (2017), 1161-1207.

Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Very weak solutions of wave equation for Landau Hamiltonian with irregular electromagnetic field, Lett. Math. Phys., 107 (2017), 591-618.
Michael Ruzhansky

Functional inequalities and applications

We will deal with a fascinating area of mathematical analysis devoted to functional inequalities associated to operators with different geometries. This is an internationally very active area of research that witnessed a big boost during the last years. In this project we will aim at deriving new inequalities and at linking them to several problems of geometry and physics, as well as the analysis on groups and the calculus of variations.

References:

Ruzhansky M., Suragan D., Yessirkegenov N., Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability and superweights for Lp-weighted Hardy inequalities, Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B, 5 (2018), 32-62.

Ruzhansky M., Suragan D., Yessirkegenov N., Sobolev type inequalities, Euler-Hilbert-Sobolev and Sobolev-Lorentz-Zygmund spaces on homogeneous groups, Integral Equations Operator Theory, 90 (2018), no. 1, 90:10.

Ruzhansky M., Suragan D., Hardy and Rellich inequalities, identities, and sharp remainders on homogeneous groups, Adv. Math., 317 (2017), 799-822.
Michael Ruzhansky

Subelliptic harmonic analysis

In this project we will investigate the analytic objects appearing in the setting of non-Riemannian geometry by applying suitable versions of the Fourier analysis. We start with the analysis on compact manifolds (and compact Lie groups) where we introduce spaces related to sums of squares of vector fields. Such spaces can be well described in terms of their behaviour on the Fourier side which has to be adapted to the geometry of the space. The applications of such research will include new trends in harmonic analysis and new estimates for solutions of associated partial differential equations.

References

Delgado J., Ruzhansky M., Schatten classes and traces on compact groups, Math. Res. Lett., 24 (2017), 979-1003.

Cardona D., Ruzhansky M., Multipliers for Besov spaces on graded Lie groups, C. R. Acad. Sci. Paris, 355 (2017), 400-405.

Nursultanov E., Ruzhansky M., Tikhonov S., Nikolskii inequality and Besov, Triebel-Lizorkin, Wiener and Beurling spaces on compact homogeneous manifolds, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci., 16 (2016), 981-1017.
Michael Ruzhansky

Multiplication of distributions

Promotor: Ljubica Oparnica

It is well known that in general it is not possible to have well defined product in the space of distributions. In some cases it is impossible to give a meaning to a product, while in some other cases it is possible to define a product, but we lose some good properties. As a simple example one can consider Heaviside function H, which obviously can be multiplied by itself (Hn=H, for all positive integer n), but when differentiate equality H2=H3, using Leibniz rule, we arrive to contradiction, i.e. multiplication is not compatible with the Leibniz rule. There are other difficulties when we want to study nonlinear operations within distributions, but there are several cases when we can multiply them.

The main objectives of thesis are to master distribution theory, to explore difficulties and possible definitions for product of distributions, and to deal with examples of distributions whose products are of interests for applications in analysis and mathematical physics.

References:

Friedlander, F. G. and Joshy M. Introduction to the Theory of Distribution, Cambridge University press, Cambridge, 1998.
Hoskins, R. F. and Sousa Pinto, J. Theories of generalized functions, Distributions, ultradistributions and other generalized functions, Woodhead publishing, Cambridge, 1994.
Oberguggenberger, M. Multiplication of distributions and applications to partial differential equations, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1992.



Ljubica Oparnica

Faseovergangen

Promotor: Andreas Weiermann

Een mogelijke thesis gaat over actueel onderzoek omtrent fasenovergangen voor onafhankelijkheidsstellingen (zoals bijvoorbeeld de stelling  van Kruskal of van Paris en Harrington.

Dit onderwerp sluit direct aan bij de lezing over fasenovergangen en/of bewijstheorie. (Er zijn meerdere thesisprojecten over faseovergangen beschikbaar.)

Andreas Weiermann

Analytische combinatoriek van het oneindige

Promotor: Jasson Vindas en Andreas Weiermann

Een mogelijke thesis gaat over actueel onderzoek omtrent de sterke asymptotiek van telfuncties voor ordinaalgetallen. Daarvoor moet een Tauberstelling van Ingham worden uitgebreid.  Mogelijke toepassingen tot limietwetten voor ordinaalgetallen zullen worden onderzocht.

Andreas Weiermann
Veralgemeende Goodsteinreeksen

Een mogelijke thesis gaat over een veralgemening van het Paris-Kirby-onafhankelijkheidsresultaat voor de Goodsteinreeksen. 
Andreas Weiermann