Bachelorprojecten

Op deze pagina staan enkele voorbeelden van bachelorprojecten die dit jaar worden aangeboden door lesgevers van de vakgroep. Deze lijst is beperkt tot maximaal twee onderwerpen per vak. Voor bijkomende onderwerpen of vragen kan je je steeds tot de betreffende lesgever(s) wenden.

Analyse

Holomorfe bijecties tussen veelhoeken (Complexe analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De afbeeldingsstelling van Riemann in de complexe analyse is een zeer algemeen resultaat dat zegt dat er tussen elke twee open gebieden zonder gaten in C (uitgezonderd heel C zelf) een holomorfe bijectie bestaat. Het is op het eerste zicht verrassend dat dit ook kan als het open gebied een rand heeft die niet glad is. In het bijzonder geval dat het gebied een veelhoek is, kunnen we expliciete formules geven voor zulke afbeelding, de zgn. Schwarz-Christoffel transformaties. Naar gelang de ambitie en de tijd het toelaat, kunnen we ook het gedrag op de rand bestuderen.

Uitgangspunt is H.5 uit de didaktische tekst van J. McDougall en L. Schaubroeck (H.5 in "Explorations in Complex Analysis" van de Mathematical Association of America).

Greense functies (Analyse II)

Promotor: Hans Vernaeve

We bespreken in dit bachelorproject een methode om (niet-homogene, lineaire) differentiaalvergelijkingen op te lossen als superpositie van zgn. Greense functies, dit zijn de oplossingen van de vergelijking (gewoonlijk met gegeven randvoorwaarden) met een rechterlid dat een "impuls" is, d.w.z. een "functie geconcentreerd in één punt" (in feite is dit is een veralgemening van een gewone functie, wat ook in het bachelorproject uitgewerkt wordt).

We zullen dit concept eerst toepassen op een gewone differentiaalvergelijking, en nadien op een partiële differentiaalvergelijking (nl. de vergelijking van Poisson in het vlak).

Uitgangspunt is H.6 van het boek "Introduction to Partial differential equations" van Peter Olver.

Elementaire bewijzen van de priemgetalstelling

 
Promotor: Gregory Debruyne
 
De priemgetalstelling is een van de kroonjuwelen van de analytische getaltheorie. Ze verzekert dat de priemtelfunctie asymptotisch equivalent is met x/log x. De eerste bewijzen van deze stelling maakten cruciaal gebruik van complexe analyse of Fourieranalyse. Later werden andere bewijzen gevonden die niet langer op deze theorie steunden en deze worden elementair genoemd. Dit wil niet zeggen dat deze bewijzen gemakkelijker te begrijpen zijn.

Het doel van dit bachelorproject is om een of meerdere van deze bewijzen te bestuderen. Mogelijke startpunten zijn een recente paper van McNamara, A dynamical proof of the prime number theorem, of een andere recente paper van Diamond die het originele bewijs van Wirsing schetst, Wirsing’s elementary proofs of the prime number theorem with remainder terms.

Tijdens dit bachelorproject zal de student vertrouwd raken met asymptotische notatie en verschillende technieken uit de elementaire getaltheorie. Ook zullen er onvermijdelijk veel afschattingen en berekeningen gemaakt moeten worden.

Integratie over variëteiten

Promotor: Jasson Vindas Díaz

Begeleider: Michiel Huttener


Tijdens de vakken analyse I & II werden verschillende soorten integralen in de euclidische ruimte besproken. Hoe hoger de dimensie, hoe meer de nadruk eerder lag op het kunnen uitrekenen en toepassen van deze integralen lag, dan op een grondige behandeling van de theorie. Enkele belangrijke resultaten waren: de Tweede Hoofdstelling van de Integraalrekening, de Stelling van Green, de Divergentiestelling, de Stelling van Stokes.
Verder waren er ook andere types integralen, namelijk lijn- en oppervlakte-integralen van scalair- en vectorvelden die ad hoc gedefinieerd werden.
 
Het doel van dit project is om de algemene theorie hierover te bestuderen. Zo zullen alle hoofdstellingen volgen uit de Veralgemeende Stelling van Stokes en de lijn- en oppervlakte-integralen kunnen gezien worden als integralen over deelvariëteiten van een grotere euclidische ruimte.
 
De eerste stap is om zuiver algebraïsch differentiaalvormen te definiëren voor variëteiten. Die geven een betekenis aan objecten zoals f(x)dx en df(x), zonder dat deze in een integraal voorkomen. Waarschijnlijk gebruik je dit zonder te beseffen al wanneer je substituties in integralen uitwerkt.  
Daarna volgt op een natuurlijke manier integratie over variëteiten met de heel elegante Stelling van Stokes tot gevolg die een verband geeft tussen de (geometrische) rand van een variëteit enerzijds en (de analytische operatoren) integreren en afleiden anderzijds. Het zal daarbij duidelijk worden waarom er geen zinnige integraal bestaat over de Möbiusband.
Afhankelijk van het tempo kan ook de Stelling van Gauss-Bonnet besproken worden.
 
Het uitgangspunt is hoofdstuk 4 van het boek "Differential Topology" door Victor Guillemin en Alan Pollack. De bedoeling is dat je zelf kleine stukjes theorie en voorbeelden uitwerkt die in het boek als oefening vermeld staan. 

Dunkl analysis on Euclidean space

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: Vishvesh Kumar

Dunkl theory related to the differential-difference operator, known as the Dunkl operator, is a far-reaching generalization of Fourier analysis on Euclidean space. This theory has a deep connection with algebra, probability, and mathematical physics.  In this project, we will learn some basic concepts of harmonic analysis related to the Dunkl theory. In the due course, based on the interest of the student we can focus on a particular problem. Some of such problems are related to Fourier multipliers, functional inequalities, and partial-differential operators associated with the (rational) Dunkl theory. 

References: 

[1] J.-Ph. Anker: An introduction to Dunkl theory and its analytic aspects, 2016. Arxiv: https://doi.org/10.48550/arXiv.1611.08213

[2] C. F. Dunkl: Differential–difference operators associated to reflection groups, Trans. Amer. Math. Soc. 311 (1989), 167–183.

[3] M. Rösler: Dunkl operators (theory and applications), in Orthogonal polynomials and special functions (Leuven, 2002), E. Koelink & W. Van Assche (eds.), pp. 93–135, Lect. Notes Math. 1817, Springer–Verlag, Berlin, 2003.

[4] S. Thangavelu and Y. Xu: Convolution operator and maximal function for the Dunkl transform, J. Anal. Math. 97 (2005), 25–55.

The Black-Scholes equation on almost Abelian groups

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: Zhirayr Avetisyan

In mathematical finance, the famous Black-Scholes equation describes the dynamics of the fair price of a financial derivative with a fixed maturity and pay-off, as a function of time and the market prices of the underlying securities. In its classical setting, the Black-Scholes equation assumes that the volatilities and returns are constant, but in real life quant analysts at investment banks have to solve this equation every night in view of the updated market information, in order that the bank prices its derivative products correctly the next morning. While in practice this is done numerically on large computers (because market data are given numerically), for a better qualitative and theoretical understanding it is useful to study hypothetical scenarios with different time-dependent volatilities and returns, especially if they allow for exact solutions.

Imagine now that we are in a world where the market prices of liquid securities are functions on a Lie group G, and so is time (prices and time make up the "price-time" G, similar to the space-time in General Relativity). The returns and volatilities are now variable as well, but so that they are left-invariant with respect to the group action. In other words, the market has certain dynamics, which is governed by given algebraic symmetries. We want to study the behaviour of the fair price of derivatives under such conditions. What happens to the derivatives when the market conditions are highly unstable, e.g., exponential? What if the market conditions are periodic? Are the derivative prices well-defined for very long maturities or less than simplistic (exotic) pay-offs?

More mathematically, the Black-Scholes equation is a linear parabolic equation, and the pay-off is the initial data for the initial value problem. The textbook case with constant returns and volatilities corresponds to a PDE with constant coefficients, which is easily solved by standard methods. In our model this corresponds to the case where the "price-time" G is the commutative group Rn. In this project we want to make a step further and assume that G is an almost Abelian group. The structure of an almost Abelian group is such that (aside from central extensions of the Heisenberg group) there exists a unique co-dimension one normal subgroup, which corresponds to the prices of liquid securities, and a special direction, which corresponds to time. Thus, on an almost Abelian group there is a natural left-invariant Black-Scholes equation, which describes the prices of securities under left-invariant dynamics. The coefficients of this parabolic equation depend on time, and depending on the group G may demonstrate a variety of behaviours from periodic to exponential. The Lie group structure allows to formally solve the equation by separation of variables, reducing the PDE to ODE. Global well-posedness of the initial value problem in different function spaces, estimates on the growth of solutions, Green's function and other questions of PDE theory are among the goals of the project.

Invariant parabolic equations on almost Abelian groups have not been studied before, and in case of strong results the project may end with a publication. More importantly, the student will be exposed to the techniques of non-commutative analysis in a relatively accessible setting, together with some basic aspects of financial mathematics. And there will be a lot of mathematical fun.

Heat and wave type equations on different Lie groups

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: Joel Restrepo

We will study the solutions of heat and wave type equations on several Lie groups. We will focus in the representations of solutions, time-asymptotic estimes, norm estimates, etc. We will start the analysis from the basis in Rn and then move forward to other group.

(Co)-Homology Theories for Smooth Manifolds

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: Santiago Gómez Cobos

In this project we will study some fundamental (co)-homology theories for smooth manifolds. In short, these are theories in which the goal is to associate an algebraic object to the manifold of study by means of some topological, geometrical or analytical data. Specifically, the objective of the project is to study the famous de Rham theorem which states that singular cohomology is isomorphic to de Rham cohomology. Basic knowledge on topology and differential geometry is expected, and we will study the rest of the theory in detail [1]. Depending on time and motivation we could move on to other type of constructions, perhaps Hodge cohomology or Morse homology.

References: 

[1] Lee, J. Introduction to smooth manifolds. Second. Vol. 218. Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2013.

Schrödinger equation on hyperbolic surfaces

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: Hong-Wei Zhang

It is known that some properties of dispersive equations are more pronounced on negatively curved manifolds. For example, the dispersive inequality and the Strichartz inequality on hyperbolic planes are shown to be stronger than the ones in Euclidean settings. This project aims to understand when and how one can extend these stronger properties from a hyperbolic plane to its corresponding hyperbolic surface.

References: 

[1] N. Burq, C. Guillarmou, and A. Hassell, Strichartz estimates without loss on manifolds with hyperbolic trapped geodesics, Geom. Funct. Anal. 20 (2010), 627–656 

[2] A. Fotiadis, N. Mandouvalos, and M. Marias, SchroŐądinger equations on locally symmetric spaces, Math. Ann. 371 (2018), 1351–1374 

[3] HW, Zhang, Wave and Klein–Gordon Equations on Certain Locally Symmetric Spaces. J Geom Anal 30, 4386–4406 (2020).

Homogeneous Lie Groups

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: David Rottensteiner

Homogeneous Lie groups play an important role in several fields of analysis. By definition, they are smooth manifolds equipped with a compatible group structure which admit a family of (generally anisotropic) dilations that respects the group and manifold structures. Although as smooth manifolds homogeneous Lie groups are diffeomorphic to Euclidean space, they feature interesting intrinsic geometries. This project will discuss some basic elements of analysis on homogeneous Lie groups such as integration, vector fields, translation-invariant metrics, and function spaces.

Orthonormal wavelet bases

Promotor: Michael Ruzhansky

Supervisor: David Rottensteiner

Wavelets have been playing a crucial role in many areas of abstract and applied mathematics, in particular in signal analysis and data compression. The aim of this project is to study some fundamental theoretical aspects of multi-resolution analysis, a well-established method for constructing orthonormal wavelet bases for the Hilbert space L2, which often extend to unconditional bases of important Banach function spaces.

Brascamp-Lieb inequalities 

Promotor: Roberto Bramati 

Many well-known multilinear integral inequalities in Euclidean analysis, such as Hölder's, Loomis-Whitney, or Young’s convolution inequalities, are instances of a more general family, i.e., Brascamp-Lieb inequalities. These inequalities depend on a family of linear surjective maps and on a set of (Lebesgue) exponents. In a nutshell, they are inequalities for functions defined on quotients of the original Euclidean space in which we try to control, apart from a constant, the average of their pullbacks via the linear maps on the whole space with the product of appropriate Lebesgue norms of the functions. In this project we aim at understanding under what conditions on the maps and on the exponents a Brascamp-Lieb inequality holds, i.e., it has a finite constant. This passes through a heat-flow argument, the analysis of gaussian extremizability and a careful study of the structure of the linear maps involved. 

Main reference:
[BCCT08] J. Bennett, A. Carbery, M. Christ, and T. Tao, The Brascamp- Lieb inequalities: finiteness, structure and extremals, Geom. Funct. Anal. 17 (2008), pp. 1343-1415.

Other references: 
[BrL] H.J. Brascamp, E.H. Lieb, Best constants in Young’s inequality, its converse, and its generalization to more than three functions, Adv. Math. 20 (1976), 151–173.
[CLL] E.A. Carlen, E.H. Lieb, M. Loss, A sharp analog of Young’s inequality on S^N and related entropy inequalities, J. Geom. Anal. 14 (2004), 487– 520.
[L] E.H. Lieb, Gaussian kernels have only Gaussian maximizers, Invent. Math. 102 (1990), 179–208.
 

Resonances of the Laplacian on the upper half plane

Promotor: Roberto Bramati

Resonances are fundamental spectral objects, historically arising from quantum mechanics. They are the poles of the meromorphic continuation of the resolvent of a differential (or Schrödinger) operator across its continuous spectrum and they can be thought of as a replacement for eigenvalues, when they are absent. After reviewing the main definitions and Fourier-analytic tools, in this project we will study the basic case of the Laplacian on Euclidean spaces. Then we will move on to the case of the Laplacian on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type of rank one, and in particular to the model case of SL(2,R)/SO(2), developing all the necessary tools to use the analog of the Fourier transform for this setting. In this context, when performing the meromorphic continuation of the resolvent, we will have to face the difficulties coming from the singular Plancherel density. Depending on the time, we can also study how the resonances and associated residue operators are related to the representations of the underlying group SL(2,R). 

References:
[HP] J. Hilgert, A. Pasquale, Resonances and residue operators for symmetric spaces of rank one, J. Math. Pures Appl. (9) 91 (2009), no. 5, 495-507.
[H] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press, New York, 1978.
[L] S. Lang, SL(2,R), Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. 

Logica

Grote kardinaalgetallen

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project worden oneindige verzamelingen gebestudeerd die zo groot zijn dat men hun bestaan niet meer in de gewone wiskunde bewijzen. Het gaat erom de "small large cardinals" te kaderen en met elkaar te vergelijken. Daarvoor zou de theorie uit het boek van Jech uitgewerkt worden.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over verzamelingenleer verwacht. 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

 

Stellingen van Dushnik Miller

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project gaat het erom stellingen zoals de volgede te bespreken.

Er bestaat een overaftelbare deelverzameling E van de reële getallen zodat iedere ordeautomorfisme van E de identiteit is.

 

Referenties Rosenstein: Linear orderings

 

 

Ehrenfeucht Fraïssé games

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project gaat het erom via spelen de elementaire equivalentie van structuren te beschrijven.Deze spelen hebben tal van toepassingen in de eindige modeltheorie.

 

Referenties Ebbinghaus, Flum en Thomas. Finite Model Theory. Springer.

Borel en analytische verzamelingen

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project gaat het erom basisresultaten uit de descriptieve verzamelingenleer te bespreken. Een verzameling in een poolse ruimte is Borels als zij element is van de kleinste sigma-algebra die de open verzamelingen bevat. Een analytische verzameling is gegeven als beeld van een continuë functie van de Baire ruimte naar een poolse ruimte. Zulke verzamelingen hebben de eigenschap van Baire en zij zijn Lebesgue meetbaar. Een versameling is Borels als en slechts als zij en haar complement analytisch zijn. 

 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

Undecidable problems in Machine Learning
Promotor: Juan Aguilera

Recently, some examples of problems in the theory of learnability have been identified whose solution cannot be decided within the framework of the Zermelo-Fraenkel Axioms of set theory. The goal of this project would be to study these examples and report on the proofs used, as well as the background required for the argument to work. If time allows, the project can delve deeper into more general issues surrounding undecidability and axiomatic independence.

References

[1] S. Ben-David, P. Hrubeš, S. Moran, A. Shpilka, and A. Yehudayoff, "Learnability can be undecidable," Nature Machine Intelligence 1, 44-48(2019).

[2] T. Jech. Set theory. Springer.
Non-Standard Models of Arithmetic and their Axioms
Promotor: Juan Aguilera

The axioms of Peano arithmetic describe the basic properties of the natural numbers, the operations of addition, multiplication and exponentiation, and induction. This thesis will study this collection of axioms, its important fragments, and their standard and non-standard models. Possible directions might include: proofs of consistency, structural properties of non-standard models, Gödel's incompleteness theorems and its consequences, and more.

References:

[1] R. Kaye. Models of Peano arithmetic. Oxford University Press.

[2] P. Hájek and P. Pudlák. Metamathematics of First-Order Arithmetic. Springer.
The Universal Algorithm, or Coding Information into Time
Promotor: Juan Aguilera

Woodin's universal algorithm theorem states the following. There is a program e which outputs a (possibly empty) finite string of letters. However, what this sequence is is indeterminate in a strong sense: for any specified finite string s of letters, one can stretch time into the non-standard integers in such a way that as the program runs, it will output precisely the sequence s. Mathematically, this is a very concrete theorem concerning computability. Philosophically, it might have ramifications related to determinism and free will.

The purpose of this thesis will be to study the proof of this theorem and, if time allows, other related results. This will involve discussing non-standard models of arithmetic, Gödel's incompleteness theorems, and other topics.

References 
[1] W. H. Woodin, "A potential subtlety concerning the distinction between determinism and non-determinism." in "Infinity: New Research Frontiers." (2011) M. Heller and W. H. Woodin, editors. pp. 119-129

Discrete wiskunde

Constructing graphs with the same spectrum

Promotor: Aida Abiad

Spectral graph theory studies the relation between structural properties of the graph and the eigenvalues of
associated matrices. Graphs are often studied by their adjacency matrix. Two graphs with the same spectrum (eigenvalues) for some type of matrix are called cospectral with respect to the corresponding matrix. The spectrum contains a lot of information of the graph, but in general it does not determine the graph (up to isomorphism). That motivates why is interesting to construct cospectral graphs: they help us understand the weaknesses in identifying structures only using the spectrum. Several tools for constructing cospectral graphs are known to exist, the most used one is a switching method [1].

Similar methods to this switching seem to have appeared in the literature but in a different context: to construct new Hadamard matrices [2]. A Hadamard matrix is a square matrix whose entries are either 1 or −1 and whose rows are mutually orthogonal. The work in [2] presents several operations that switch substructures of Hadamard matrices with the aim to produce new, generally inequivalent, Hadamard matrices. These operations have applications to the enumeration and classification of Hadamard matrices.

This project aims to provide an overview of the methods presented in [1,2], which have been used independent of each other, and to find new relationships between them.

 Referenties

[1] C. D. Godsil and B. D. McKay. Constructing cospectral graphs. Aequationes Math. 25 (1982), 257–268.
[2] W.P. Orrick. Switching Operations for Hadamard Matrices. SIAM J. Discrete Math. 22(1), 31-50.

Is the spectrum a fingerprint of a graph?

 Promotor: Aida Abiad

In this project we look at the spectrum (that is, the set of eigenvalues) of the adjacency matrix (and some variations) of a graph, and ask the following fundamental question:

Given a graph and the spectrum of a matrix associated to the graph, what does the spectrum tell about a certain graph property?

Graph properties such as connectedness, diameter, independence number, chromatic number and regularity, are also known to be related to the spectrum of a graph. If a property is not characterized by the spectrum, then there exist a pair of non-isomorphic graphs with the same spectrum. Motivated by the complexity of properties of graphs that can be characterized by the spectrum of a matrix associated to a graph, spectral characterizations of some well-known NP-hard properties have been studied in the literature. In this project we will investigate other NP-hard graph parameters that do not follow from the spectrum of a graph.

Combinatorische onderzoeksgebieden met verbanden met projectieve meetkunde (Projectieve meetkunde, Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen de combinatoriek zijn er verschillende domeinen die verbanden hebben met projectieve meetkunde. Zo zijn verschillende problemen binnen de codeertheorie equivalent aan meetkundige problemen binnen de projectieve meetkunde. Analoog worden er voorbeelden van grafen geconstrueerd via meetkundige structuren uit projectieve ruimten. Zo worden er bijvoorbeeld extremale voorbeelden van grafen gevonden.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om een verband tussen projectieve meetkunde en een andere domein uit de combinatoriek te bespreken. Dit omvat de beschrijving van het verband en ook een bespreking van hoe, via meetkundige technieken, deelstructuren uit projectieve meetkunden helpen om nieuwe resultaten in dit ander domein te vinden.

Studie van verzamelingen deelruimten in vectorruimten over eindige velden (Projectieve meetkunde, Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen verschillende domeinen binnen de wiskunde worden verzamelingen deelruimten van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over het eindig veld GF(q) bestudeerd.

Zo worden binnen de vectorruimte V(n,q) verzamelingen deelruimten van dimensie k, die paarsgewijs snijden in (k-t)-dimensionale deelruimten snijden, bestudeerd voor de transmissie van informatie door wireless netwerken.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om bepaalde verzamelingen deelruimten die aan vooropgegeven voorwaarden voldoen, te bestuderen, en hun eigenschappen te bestuderen. Vele van de bewijzen van de eigenschappen van deze verzamelingen deelruimten zijn gebaseerd op eigenschappen uit lineaire algebra, maar ook andere technieken worden gebruikt om deze eigenschappen te bewijzen.

Saturerende verzamelingen in eindige projectieve ruimten (Projectieve meetkunde, Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Begeleider: Lins Denaux

Binnen eindige projectieve ruimten worden saturerende verzamelingen bestudeerd. Een rho-saturerende verzameling S in PG(n,q) is een verzameling punten zodat elk punt van PG(n,q) linear afhankelijk is van hoogstens rho+1 punten van S.

Zo is bijvoorbeeld een 1-saturerende verzameling S in PG(n,q) een verzameling punten zodat elk punt van PG(n,q) tot minstens 1 rechte van PG(n,q) behoort die minstens twee punten van S bevat.

Binnen de theorie van de saturerende verzamelingen wordt vooral gezocht naar zo klein mogelijke saturerende verzamelingen.

Er worden bijzondere deelverzamelingen punten in PG(n,q) gebruikt, zoals kegelsneden, om kleine saturerende verzamelingen te construeren. Er worden inductieve methodes gebruikt.

Binnen dit bachelorproject worden er enkele voorbeelden van saturerende verzamelingen en enkele technieken om kleine saturerende verzamelingen te construeren, bestudeerd.