Bachelor projects

This page lists some examples of bachelor projects offered this year by teachers of the departments WE01 (Mathematics: Algebra and Geometry) and WE16 (Mathematics: Analysis, Logic and Discrete Mathematics). This list is limited to up to two subjects per course. For more subjects or questions, feel free to contact the teacher(s) in question.

 

Random walks 

Promotor: Anneleen De Schepper

Een random walk op een aftelbare ruimte X (bvb. een graaf) beschrijft de mogelijkheden voor paden in X met zeker startpunt waarbij de kans om van een element x naar een element y over te gaan gegeven wordt door een zekere kans Px,y (onafhankelijk van de vorige stappen). Iets formeler krijgen we een reeks (Xn)n van random variabelen die waarden aannemen in X en onderhevig zijn aan een zekere transitiematrix P=(Px,y)x,y∈X met Px,y zoals hierboven. 

Random walks hebben velerlei toepassingen doordat ze bepaalde processen modelleren (zie ook: Markov processen), anderzijds is er een rijke wiskunde achtergrond en worden ze ook bestudeerd op tal van meetkundes (bvb. projectieve meetkundes, maar ook andere axiomatisch gedefinieerde objecten zoals "veralgemeende veelhoeken").  Typische vragen in deze context zijn of, en "hoe snel" een stationaire staat bereikt wordt, "hoe lang" het duurt vooraleer een bepaald punt bereikt wordt,... Alles wordt bepaald door de matrix P, en diens eigenwaarden spelen een belangrijke rol.

Afhankelijk van jouw interesse kan hierin een project besproken worden, waarin naast het bespreken van wat algemene theorie ofwel kan gespecifieerd worden naar bepaalde meetkundes X (waarvan je dan gaandeweg ook veel eigenschappen kan bijleren) ofwel kunnen er voorbeelden met betrekking tot "het echte leven" uitgewerkt worden. 

Je bent zeker ook welkom bij mij voor andere projecten, in het bijzonder deze van axiomatisch-meetkundige aard. Maak gerust een afspraak voor meer uitleg. 

 

Ehrenfeucht Fraïssé spelen 

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project gaat het erom om de elementaire equivalentie van wiskundige structuren speltheoretisch te beschrijen. We bespreken daarvoor een hoofdstuk uit het boek "Finite Model Theory" van Ebbinghaus en Flum. Alternatief kan worden gekozen voor een hoofdstuk uit het boek "Linear orderings" van Rosenstein. 

 

 

Polariteiten van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

Een polariteit van een projectieve ruimte is een anti-isomorfisme b waarvoor b^2=1. Polariteiten van projectieve ruimten over velden kwamen al aan bod in de cursus ``Projectieve Meetkunde''. Een deel van het bachelorproject zal eruit bestaan om ook enkele aspecten van polariteiten van (axiomatische) projectieve vlakken nader te gaan bekijken, in het bijzonder zal gekeken worden naar de verzameling der absolute punten en welke eigenschappen deze heeft. Zijn deze eigenschappen voldoende om te besluiten dat de verzameling punten de verzameling der absolute punten moet zijn van een polariteit?  Ook kan gekeken worden naar welke verbanden er bestaan tussen polariteiten in projectieve ruimten van dimensie tenminste 3 en enkele andere combinatorische objecten in projectieve ruimten. Zo bestaat er een verband tussen zogenaamde ovoiden van PG(3,q) en bepaalde polariteiten van deze projectieve ruimte. (Zo'n ovoide heeft q^2+1 punten waarvan geen 3 op dezelfde rechte gelegen zijn).

Interessante deelstructuren van projectieve ruimten

Promotor: Bart De Bruyn

In (eindige) projectieve ruimten heeft men heel wat interessante deelstructuren.
Zo heeft men de zogenaamde rechtenspreads, ovoiden in driedimensionale ruimten
en (hyper)ovalen en unitalen in projective vlakken. Van deze deelstructuren kan
men ook dikwijls heel wat andere interessante combinatorische objecten afleiden
zoals projectieve vlakken, veralgemeende vierhoeken, inversieve vlakken. De
doelstelling van het bachelorproject is om deze verbanden te gaan onderzoeken.
Ook zullen mogelijke veralgemeningen van bovenvermelde deelstructuren onderzocht
worden.

 

Normale families (Complexe Analyse en Topologie)

Promotor: Hans Vernaeve

De stelling van Arzela-Ascoli karakteriseert compactheid van een verzameling van functies voor de metriek van de gelijkmatige convergentie. In de cursus Topologie hebben we niet veel toepassingen van deze stelling gezien. Nochtans wordt ze intensief toegepast in de theorie van de holomorfe functies.

Een compacte verzameling van holomorfe functies (voor de metriek van lokaal gelijkmatige convergentie, en doorgaans met waarden in het boloppervlak van Riemann C υ {∞}) wordt in deze context een normale familie genoemd. Merkwaardig genoeg volstaat het dat elk van de functies in de familie begrensd is door eenzelfde constante om te besluiten dat ze normaal is.

In de cursus Complexe Analyse waren we soms genoodzaakt tot vrij technische bewijzen om aan te tonen dat de convergentie van een rij van holomorfe functies gelijkmatig is (bijv. om te besluiten dat de limietfunctie zelf holomorf is door overdracht van analyticiteit). Een andere toepassing van deze theorie is de verbazende stelling van Vitali die zegt dat het hiertoe volstaat dat de convergentie puntsgewijs geldt in één convergente rij van punten en dat elk van de functies begrensd wordt door eenzelfde constante.

Normale families worden ook gebruikt in bewijzen van een aantal klassieke stellingen in de complexe analyse zoals de afbeeldingsstelling van Riemann (Riemann mapping theorem) en de stelling van Picard.

Als uitgangspunt kunnen delen uit het boek

J. Schiff, Normal families

gebruikt worden.

Holomorfe bijecties tussen veelhoeken (Complexe analyse)

Promotor: Hans Vernaeve

De afbeeldingsstelling van Riemann in de complexe analyse is een zeer algemeen resultaat dat zegt dat er tussen elke twee open gebieden zonder gaten in C (uitgezonderd heel C zelf) een holomorfe bijectie bestaat. Het is op het eerste zicht verrassend dat dit ook kan als het open gebied een rand heeft die niet glad is. In het bijzonder geval dat het gebied een veelhoek is, kunnen we expliciete formules geven voor zulke afbeelding, de zgn. Schwarz-Christoffel transformaties. Naar gelang de ambitie en de tijd het toelaat, kunnen we ook het gedrag op de rand bestuderen. Uitgangspunt is H.5 uit de didaktische tekst van J. McDougall en L. Schaubroeck (H.5 in "Explorations in Complex Analysis" van de Mathematical Association of America).

Projectieve vlakken in projectieve ruimten

Promotor: Hendrik Van Maldeghem

Stel je voor dat we een verzameling D van deelruimten hebben van een projectieve ruimte met de eigenschap dat de elementen van D dimensie i of j hebben, met i<j, en elk paar deelruimten van D van dimensie i spant een deelruimte op van dimensie j uit D, en elk paar deelruimten van dimensie j van D snijdt in een deelruimte van dimensie i van D. Er bestaan algebraïsche manieren om zulke verzamelingen D te construeren. Bijvoorbeeld door gebruik te maken van bepaalde collineaties, of door deelvelden te beschouwen van het veld waarover een projectief vlak gedefinieerd is.

Het doel van het project is nu om alle zulke verzamelingen D te klasseren, en dit door zoveel mogelijk meetkundge eigenschappen af te leiden.  Indien dit iets te optimistisch blijkt, dan kan gezocht worden naar meetkundige voorwaarden om een deelklasse te vinden die ten minste alle bovenstaande algebraïsche voorbeelden bevat.Bijkomende voorbeelden construeren, zij het op algebraïsch, zij het op meetkundige wijze, is ook een deel van het project. 

Dit is een onderzoeksproject dat nieuwe en originele resultaten beoogt en een niet-triviale inbreng van de student vereist.

Lie algebra's in positieve karakteristiek

Promotor: Tom De Medts

Begeleider: Jeroen Meulewaeter 

Een Lie algebra is een algebra met een bilineare anti-commutatieve bewerking die voldoet aan de zogenaamde Jacobi-identiteit. (Zie https://nl.wikipedia.org/wiki-Lie-algebra)

 De classificatie van de enkelvoudige Lie algebra's over een veld van karakteristiek 0 is een klassiek resultaat. Echter, de classificatie over velden van positieve karakteristiek p>0 is enigszins anders. Recent werden deze enkelvoudige Lie algebra's geclassificeerd voor p>3. (Zie [Str]) Naast de Lie algebra's die overeenkomen met Lie algebra's over karakteristiek 0, zijn er nog 2 andere klassen. Een eerste deel van dit bachelorproject zou het bestuderen van deze twee klassen zijn. 

Indien p=2,3 is er nog geen classificatie. Er zijn uiteraard wel voorbeelde gekend. Een tweede deel van dit project zou dan bestaan uit het beschrijven van allerhande voorbeelden die je (zelf) in de literatuur vindt. Er is eventueel de mogelijkheid pm met een computeralgebra pakket naar Lie algebra's te zoeken (zoals bijvoorbeeld in [Eick]). Anderzijds zijn er ook constructies gekend van Lie algebra's over het veld met twee elementen, vertrekkende van bepaalde meetkundes (zie [Cuy] en [CPS]).

Referenties

[Str] Simple Lie algebras over fields of positive characteristic, H. Strade, 2008 (Volume I en II).

[Eick] Some new simple Lie algebras in characteristic 2, Bettina Eick, 2010.

[Cuy] Lie algebras and cotriangular spaces, H. Cuypers, 2005.

[CHPS] Lie algebras and 3-transpositions, H. Cuypers, M. Horn, J. in 't panhuis, S. Shpectorov, 2012.   

Automatische groepen

Promotor: Tom De Medts
Begeleider: Jens Bossaert

Doorheen de opleiding Wiskunde worden groepen voornamelijk abstract benaderd, maar er bestaat ook wiskundesoftware (zoals GAP) om groepen op de computer te bestuderen. Zo'n framework voor efficiënte computationele groepentheorie blijkt een hele uitdaging. Een oneindige groep bijvoorbeeld kunnen we misschien voorstellen door middel van een eindige presentatie (zie Algebra II), en dan kunnen we groepselementen voorstellen als woorden, maar over het algemeen is het een ondoenbare opgave om te herkennen of twee woorden hetzelfde groepselement voorstellen of niet. Ook voor eindige groepen zijn er mogelijkheden… en al heel gauw problemen.

Begin de jaren 90 werd het concept van een automatische groep ingevoerd. Dit is een eindig voortgebrachte groep, waarvan de structuur gecodeerd zit in enkele eenvoudige automaten (zogenaamde eindigetoestandsautomaten) die toelaten om efficiënt te rekenen in zo’n groep. De bedoeling van dit bachelorproject is om eerst wat basistheorie over deze automaten en reguliere talen eigen te maken, en daarna te bestuderen hoe deze kunnen helpen in de computationele groepentheorie. Van een heel aantal families groepen is geweten of die wel of niet automatisch zijn, en een concrete invulling van dit project kan een studie zijn van zo'n gekende (of nieuwe) klasse. Er zijn ook een heleboel veralgemeningen en gerelateerde noties te verkennen.

Referenties

J. W. Cannon,  D. B. Epstein, D. F. Holt, S. V. Levy, M. S. Paterson, W. P. Thurston (1992). Word processing in groups. Jones and Barlett, Boston, MA. 

Groups of projectivities of projective planes

Promotor: Johannes Roth

Groups of projectivities of projective planes are geometrically defined permutation groups. More precisely: If L1 , L2 are lines and P is a point of a projective plane such that P does not lie on any of the two lines, we consider the bijection

(L1 P L2):  L1 → L2,     X → XP ∩ L2

and call it a perspectivity from L1 to L2. The product 

(Ln Pn Ln+1) · · · (L1 P1 L2)

of such perspectivities is a bijection from L1 to Ln+1 and called a projectivity. If L is any line of the projective plane, the projectivities from L to itself form a group ∏ of permutations of L. Since this permutation group is independent of the choice of L, it is an invariant of the projective plane known as the group of projectivities.

 

In this project we look at the question of whether a desarguesian projective plane is determined up to isomorphism by its group of projectivities.

Fractalen en fractale dimensie 

Promotor: Jasson Vindas
Begeleiding: Frederik Broucke
 
Een fractaal is (ruwweg) een verzameling die structuur op willekeurig kleine schaal vertoont. Onmisbaar in de studie van fractalen zijn de verschillende noties van fractale dimensie, zoals de Hausdorff dimensie en de Minkowski dimensie. Het startpunt van dit project is dan ook een studie van verschillende soorten fractale dimensies en de verbanden tussen die dimensies. Later kunnen ook een (of meerdere) toepassingen onderzocht worden, zoals `zelfgelijkvormige' verzamelingen, de grafieken van `pathologisch' functies, Julia verzamelingen en de Mandelbrot verzameling ...
 
De nadruk in dit project ligt op de theoretische studie van fractalen en dimensie, niet op het genereren van afbeeldingen van fractalen. Als uitgangspunt kunnen de boeken [1,2] gebruikt worden.

Referenties:

[1] G. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer, New York, 2008.
[2] K. Falconer, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications,John Wiley & Sons, Chichester, 1990.

Functionele ongeljikheden en hun toepassingen

Promotoren: Michael Ruzhansk

In dit project bestuderen we een fascinerend deelgebied van de wiskundige analyse gewijd aan functionale ongelijkheden. Dit onderwerp kreeg recent een grote boost dankzij haar banden met problemen uit meetkunde en fysica. Ons doel bestaat uit het bestuderen van enkele ontwikkelingen in functionele ongeljikheden en deze te verbinden met variätierekening en meetkunde. Afhankelijk van de interesse van de student kunnen ook toepassingen uit de fysica behandeld worden.

Referenties

[1] M. Ruzhansky, V. Turunen, Pseudo-differential and symmetries: background analysis and advanced topics, Birkhäuser, Bassel, 2010.

[2] M. Ruzhansky, D. Suragan, N. Yesserkegenov, Sobolov type inequalties, Euler-Helbert-Sobolev and Sobolev-Lorents-Zygmund spaces on homogeneous groups, Integral Equations Operator Theory, 90 (2018), 90:10.

[3] M. Ruzhansky, D. Suragan, Hardy and Rellich inequalities, identities, and sharp remainders on homogeneous groups, Adv. Math, 317 (2017), 799-822.

Middelwaardestellingen voor rekenkundige functies 

Promotor: Jasson Vindas
 
In elementaire priemgetaltheorie wordt er bewezen dat de priemgetalstelling equivalent is met de volgende uitspraak: de Möbius functie heeft (asymptotisch) een middelwaarde. Erdős en Wintner postuleerden het vermoeden dat elke multiplicatieve functie, die enkel de waarden 1 en -1 aanneemt, een middelwaarde heeft. Het vermoeden van Erdős en Wintner, dat sterker is dan de priemgetalstelling, diende als motivatie om  volgend probleem te bestuderen: formuleer voorwaarden voor rekenkundige functies die het bestaan van een middelwaarde garanderen.
 
Het doel van dit project is om verscheidene stellingen te bestuderen in de theorie van middelwaarden van rekenkundige functies. In het bijzonder zullen we de stelling van Halász bestuderen (die een oplossing biedt voor het vermoeden van Erdős en Wintner). Als uitgangspunt zullen we het boek [1] gebruiken.

Referenties:

[1] W. Schwarz, J. Spilker, Arithmetical functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

Het Priemmacht-Vermoeden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Het priemmacht-vermoeden (PMV) is een van de meest tot de verbeelding sprekende vermoedens in de Projectieve Meetkunde; het zegt dat de orde van een eindig projectief vlak noodzakelijk een priemmacht is.

Ondanks de vele verwoede pogingen in een periode van vele tientallen jaren, staat het vermoeden nog steeds onaangetast overeind.

In dit project stellen we voor om een studie uit te voeren van de gekende resultaten, en zoeken we naar extra onderstelde eigenschappen — zoals bepaalde lokale en globale groepacties op het projectieve vlak — die leiden tot een positief antwoord van het vermoeden.

Er is veel ruimte voor eigen werk. In het bijzonder denken we ook aan de volgende vraag:

“Wat zou een goed oneindig analogon zijn van het PMV ?”

Singer Meetkunden (Projectieve Meetkunde)

Promotor: Koen Thas

Singer meetkunden zijn punt-rechte meetkunden waarvoor een automorfismengroep (de “Singer groep”) bestaat die scherp transitief werkt op de punten (of de rechten).

Eindige projectieve ruimten over velden zijn Singer meetkunden, maar we zagen ze ook al in de context van bijvoorbeeld affiene translatievlakken.  Ook enkele kleine voorbeelden van veralgemeende vierhoeken zijn gekend die Singer meetkunden zijn.

De literatuur over de theorie van Singer meetkunden is erg uitgebreid, dankzij onder andere de rol die zulke meetkunden spelen in een aantal bekende open problemen (zoals de klassering van vlag-transitieve projectieve vlakken).


In dit project onderzoeken we twee vragen:

  1.  Welke meetkunden zijn Singer meetkunden ?
  2.  Wanneer is een gegeven groep een Singer groep voor een Singer meetkunde ?

Combinatorische onderzoeksgebieden met verbanden met projectieve meetkunde (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen de combinatoriek zijn er verschillende domeinen die verbanden hebben met projectieve meetkunde. Zo zijn verschillende problemen binnen de codeertheorie equivalent aan meetkundige problemen binnen de projectieve meetkunde. Analoog worden er voorbeelden van grafen geconstrueerd via meetkundige structuren uit projectieve ruimten. Zo worden er bijvoorbeeld extremale voorbeelden van grafen gevonden.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om een verband tussen projectieve meetkunde en een andere domein uit de combinatoriek te bespreken. Dit omvat de beschrijving van het verband en ook een bespreking van hoe, via meetkundige technieken, deelstructuren uit projectieve meetkunden helpen om nieuwe resultaten in dit ander domein te vinden.

Studie van verzamelingen deelruimten in vectorruimten over eindige velden (Discrete wiskunde I en II)

Promotor: Leo Storme

Binnen verschillende domeinen binnen de wiskunde worden verzamelingen deelruimten van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over het eindig veld GF(q) bestudeerd.

Zo worden binnen de vectorruimte V(n,q) verzamelingen deelruimten van dimensie k, die paarsgewijs snijden in (k-t)-dimensionale deelruimten snijden, bestudeerd voor de transmissie van informatie door wireless netwerken.

Binnen dit bachelorproject is het de bedoeling om bepaalde verzamelingen deelruimten die aan vooropgegeven voorwaarden voldoen, te bestuderen, en hun eigenschappen te bestuderen. Vele van de bewijzen van de eigenschappen van deze verzamelingen deelruimten zijn gebaseerd op eigenschappen uit lineaire algebra, maar ook andere technieken worden gebruikt om deze eigenschappen te bewijzen.

Hermitian Morita theory

Promotor: Tom De Medts

Begeleider: Simon Rigby 

Morita equivalence captures the relationship between a ring R (possibly noncommutative) and the matrix ring Mn(R). One way of formalising this is by defining that two rings R and S are Morita equivalent if the category of R-modules is equivalent to the category of S-modules.

Let R be a ring with involution σ: R  R, (for example, the complex numbers with complex conjugation) and let M be a right R-module. A Hermitian form on M is a function h: M × M  R that is additive in both arguments and satisfies

h(mr, ns) = σ(r)h(m,n)s and h(r,s) = σ(h(s,r)) for all r, s in R and all m, n in M.

In the special case where R is a field and σ is the identity, this definition reduces to the more familiar definition of a bilinear form. The classical Morita theory has a very beautiful generalisation that captures the relationship between certain rings with involution. It can be described using categories of Hermitian forms. This theory has some wonderful applications to other areas of algebra, such as algebraic groups.

The first goal of this project is to prove some equivalences of categories of Hermitian forms. Depending on the tastes of the student, they could continue to write about the formalism and consequences of Hermitian Morita equivalence, or they could focus on some applications to simple algebraic groups that appear as automorphism groups of Hermitian forms. 

Grote kardinaalgetallen

Promotor: Andreas Weiermann 

In dit project worden oneindige verzamelingen gebestudeerd die zo groot zijn dat men hun bestaan niet meer in de gewone wiskunde bewijzen. Het gaat erom de "small large cardinals" te kaderen en met elkaar te vergelijken. Daarvoor zou de theorie uit het boek van Jech uitgewerkt worden.

Omdat logica in semester zes valt wordt van de student wat zelfstudie over verzamelingenleer verwacht. 

Referenties [1] Thomas Jech. Set Theory. Springer.

 

Primitief recursieve functies

Promotor Andreas Weiermann

 

De primitief recursieve functions vormen een klasse van berekenbare functies die door samenstelling en eenvoudige recursies uit zekere basisfuncties gedefinieerd zijn. In het project gaat het erom de basistheorie van deze functies te uit te werken en daarna enkele niet voor de hand liggende eigenschappen ervan te bewijzen.

Indien de student(e) ervoor kiest kunnen ook wat onderzoeksaspecten in het project geïntegreerd worden.

Referenties

1. Een boek over recursietheorie zoals bijvoorbeeld het boek van Soare.

2. Twee preprints van de promotor.

Het Scott model voor de Lambda calculus

Promotor: Andreas Weiermann

In dit project zal het Scott model D voor de Lambda calculus doorgenomen worden.  D is interessant omdat D op zekere manier isomorf met de ruimte van functies van D naar D is. De Lambda calculus ligt aan de basis van functionele programmeertalen en het project is misschien bijzonder interessant voor een student met interesse aan theoretische vraagstukken uit de informatica.

Referenties 

Lambda Calculus. Henk Barendregt. North Holland.